Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая пространственные координаты X1t X2t х3 в функции времени X4 = t% уравнения геодезической линии можно записать так:
dt W<4 dt j 2S44 дяо [ dt ) - u-
Здесь а является индексом суммирования, а а имеет в каждом уравнении одно из фиксированных значений 1, 2, 3.
В общих координатах принцип постоянства скорости света не соблюдается. Однако мы принимаем, что существует система отсчета, в которой этот принцип выполняется. В такой системе линейный элемент (3,7,1) при ds = Одолжен привести к условию—dx2— dy2 — — dz2 + (?dit2 = 0, выражающему постоянство скорости света.
Этому требованию можно удовлетворить только в том случае, 78
Г лава III. Развитие закона тяготения
если в указанной системе отсчета линейный элемент принимает вид ds2 - Ф2 (- dx2 - dy2 - dz2 + Attt). (3,7,4)
где Ф — некоторая скалярная функция координат и времени.
Легко видеть, что, допустив существование одной системы координат, отвечающей квадратической форме (3,7,4), мы тем самым допускаем существование сколь угодно большого числа таких систем, связанных между собой преобразованием Лоренца. Для функции Ф Эйнштейн получает уравнение
4S-+4?-+-S-^-S-)-*»•.
обобщающее уравнение Пуассона для гравитационного потенциала. Здесь k — постоянная, T — скаляр, зависящий от распределения масс, которые служат источником поля тяготения.
С точки зрения общих предпосылок оба варианта теории Нордстрема вполне равноценны, поскольку они в одинаковой степени отвечают специальному принципу относительности, постулату постоянства скорости света и равенству инертной и тяжелой масс. Их следствия, относящиеся к конкретным задачам, также во многом оказываются одинаковыми. В качестве иллюстрации вновь рассмотрим задачу о движении частицы в постоянном поле одного центра, основываясь на втором варианте теории.
Для статического поля в вакууме уравнение (3,7,5) превращается в уравнение Лапласа V2® = 0 и в случае центральной симметрии
имеет решение Ф = — + ?, где At В — постоянные интегрирования. Считая, что на бесконечности квадратическая форма (3,7,4) совпадает с линейным элементом СТО, находим ? = 1. Следовательно,
Ф = 1 + А . (3,7,6)
Составим уравнения движения.
Отличные от нуля компоненты метрического тензора, отвечающего линейному элементу (3,7,4),
g\l = g22 = ?33 = — Ф2; ?44 = с2 Ф2.
Поэтому, положив ха равным соответственно декартовым координатам xt yt Zt первое из уравнений (3,7,3) можно написать в виде
___LJO((dx\2 , (*У\2 , MM2I , _ п
dp Ф дх I\ dt) "1^ \ dt I \dt) J "Г" Ф дх ~
или
IF + ~~Ф--дх ~~ 9 {OJJ)
где у — скорость частицы. 8. Теория Эйнштейна — Г росс мана
79»
Чтобы определить значение постоянной At перейдем к приближению Ньютона, для чего в (3,7,7) следует опустить v2. Уравнение
5-+4(^ іпф)-°
совпадает с законом движения Ньютона, если величину C2In Ф отождествить с гравитационным потенциалом <р. Следовательно,
?, = ,-^1--?-. (3,7,8)'
что совпадает с решением (3,7,6) при A = — где M — масса центра гравитации.
Возвращаясь к равенству (3,7,7), можно переписать его следующим образом:
__<?Ф_ ___/Q у QV
dp дх ~ с2 дх ' K0*'^r
Аналогичную форму имеют два другие уравнения системы (3,7,3). Таким образом, на частицу, кроме ньютоновой силы притяжения к центральному телу, действует возмущающее ускорение
P _ * У M
где г — радиус-вектор частицы относительно центра притяжения.
Возмущающее ускорение является отталкивательным и совпадает со значением (3,6,10), найденным на основе первоначальной теории Нордстрема. При v = с три уравнения вида (3,7,7) дают для
производных ^jj-, ^jr, -^r постоянные значения, показывая, что свет
распространяется в поле тяготения прямолинейно.
8. Теория Эйнштейна — Гроссмана. С математической точки зрения теорию гравитации Нордстрема можно назвать скалярной, поскольку поле тяготения характеризуется в ней скалярной функцией — обобщенным гравитационным потенциалом. Важнейшей физической особенностью этой теории является инвариантность ее уравнений относительно преобразования Лоренца, т. е. выполнимость специального принципа относительности. Это значит, чтог с точностью до преобразований Лоренца, теория Нордстрема выполняется только в определенной системе отсчет аг совпадающей с инерциальными координатами специальной теории относительности, тогда как при переходе к ускоряющейся системе отсчета теория нарушается.
Если движение частицы изучается в ускоренной системе, то необходимо учесть также силы инерции. Таким образом, как и & 80
Г лава III. Развитие закона тяготения
механике Ньютона, гравитация и инерция имеют в теории Нордстрема абсолютное значение, а равенство инертной и тяжелой масс не истолковывается.
Придерживаясь идеи об относительности гравитации и инерции и единстве их физической природы, Эйнштейн и Гроссман предложили в 1913 г. теорию тяготения, основанную на принципе эквивалентности и разработанную при помощи общего тензорного -анализа (10]. Несколько позднее концепция была окончательно разработана в общей теории относительности, которой посвящены следующие главы. Поэтому здесь мы не будем рассматривать работу Эйнштейна и Гроссмана сколько-нибудь подробно и ограничимся только немногими замечаниями, чтобы отметить принципиальное отличие этого направления от скалярной теории Нордстрема.
