Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
6. Теория Нордстрема. Обсуждая состояние проблемы всемирного тяготения, Эйнштейн [6] перечисляет следующие четыре требования, которые, по его мнению, должны быть положены в основу теории гравитационного поля:
1) выполнимость законов сохранения импульса и энергии,
2) равенство инертной и тяжелой масс,
3) выполнимость специальной теории относительности,
4) независимость формы законов от абсолютных значений гравитационного потенциала.
Теория Абрагама, как было указано, не отвечает третьему из этих условий. Появившаяся вскоре теория Ми [7] противоречит равенству инертной и тяжелой масс. Со всеми четырьмя условиями согласуется теория Нордстрема, предложенная в 1912 г. [8] и развитая затем в работах Эйнштейна [6], Эйнштейна и Фоккера [91.
Как и в теории Абрагама, в теории Нордстрема поле гравитации характеризуется запаздывающим потенциалом, который удовлетворяет уравнению Даламбера (3,5,1). В этом уравнении, как и прежде, через Xt у, г обозначены пространственные декартовы координаты, 72
Г лава III. Развитие закона тяготения
а временной координатой служит переменная и = ict. Градиент потенциала в четырехмерном континууме Минковского служит напряженностью поля; составляющими его являются четыре про-
„зводные-gf.,...^-.
Пространственно-временной интервал определяется обычной формулой СТО, имеющей в принятых обозначениях вид
ds2 = — dx2 — dy2 — dz2 — du2. (3,6,1)
С элементом dx собственного времени интервал связан соотношением ds =cdx. Четырехмерная скорость а частицы, которую Норд-
dx
стрем назвал вектором движения, имеет проекции ах = , ... аи =
= du
dx'
Закон движения материальной точки в гравитационном поле принимается в теории Нордстрема в форме
(ma) = т grad <р, (3,6,2)
где т — масса покоя точки.
Нетрудно убедиться в том, что при неизменной массе покоя закон движения (3,6,2) противоречит одному из основных принципов СТО — постулату постоянства скорости света. Действительно, с помощью соотношения ds = cdx линейный элемент (3,6,1) можно переписать в виде
— с2 = а2х + CL2y + a2 + а2,
откуда
de dax , , daа
r» da г дф dau дф
Внеся значения = , ... = которые следуют из
(3,6,2) при т = const, и принимая во внимание определение вектора а, находим
dc _ 1 dep
dx ~~ ~ dx '
Это показывает, что скорость света остается постоянной только при Ф = const, т. е. вне поля тяготения.
Стремясь сохранить, принцип постоянства скорости света и при наличии поля, Нордстремотказывается от условия т = const и ищет закон изменения массы в поле гравитации, который обеспечит выполнимость указанного принципа. б. Теория Нордстрема
73
Считая массу покоя частицы переменной, перепишем закон движения (3,6,2) в виде
da . dm ,
т-*Г + а -^r = Wgradtp.
Умножим это уравнение скалярно на вектор движения. В полученное равенство
1 da2 . - dm d<p
-о- tn -j--h а -гг~ = m -TT
2 dT 1 dx dx
внесем соотношение а2 = — с2, которое непосредственно следует из линейного элемента (3,6,1). Уравнение
1 de2 о dm dtp -к- т ~т~ = — с2 --m
2 dx dx dx
показывает, что необходимым и достаточным условием постоянства скорости света является дифференциальное уравнение
которое после интегрирования дает
m = mQe с*. (3,6,3)
Постоянная т0 представляет здесь массу покоя частицы в точке с нулевым потенциалом.
Уравнение (3,6,2) при условии (3,6,3) принимает следующий вид;
-?- = gradcp + ^, (3,6,4)
показывая, что закон движения частицы не зависит от ее массы. Этим обеспечивается равенство инертной и тяжелой масс. Можно также показать, что закон движения в форме (3,6,4) инвариантен относительно преобразований Лоренца.
Рассмотрим задачу о движении частицы в поле одного неподвижного центра Запаздывающий потенциал (3,5,2) совпадает в этом
случае с обычным ньютоновым потенциалом <р = где M — масса центра.
Равенство (3,6,4) представляет собой систему четырех дифференциальных уравнений второго порядка: трех уравнений для декартовых координат xt yt Z и одного — для переменной и. Поскольку поле неподвижного центра является статическим, в рассматриваемом случае потенциал не зависит от переменной и, вследствие чего 74
Г лава III. Развитие закона тяготения
последнее из уравнений системы приводится к равенству
(Pu _ 1 гіф du
dt2 с2 dx dx *
или, если подставить и = ict,
(Pt _ _1_ ' dx2 ~~ C2
(3,6,5)
Внеся это соотношение в очевидное преобразование
(Px = сPx I dt_\2 _ri*_ гіт2 гі/2 [dx) dt dx2 '
rif2 ( rix) + dt dx2 9
(Px і dt \2 ri* ri2*
гід: (Pt dt dx2 '
получим
сPx Г ^2* 1 \ I dt \2
rix2 І Ш- СГШ CM I \ rix I
(И*г 1 Ит Ay \ f dt \2 Ui- Cm UI ui J у rix J
Cm Ul Ul
Поэтому первое из уравнений системы (3,6,4) можно написать в форме
Таким образом, векторное равенство (3,6,4) приводится к трем следующим уравнениям:
d2x __ _dq>_ / rix Y <Ру __ MM2 _ _дф_ M2 /о fiv
ri/2 ~~ ад; ( dt ) dt2 " ду [ dt ) '' dt2 ~~ dz \ dt ) J
определяющим декартовы координаты в функции времени.
Найдем теперь производную . Интегрируя (3,6,5), получим
