Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Принцип эквивалентности Эйнштейна, конечно, не является новой теорией гравитации. Однако он может служить исходным моментом и одной из физических предпосылок такой теории, а плодотворность подтверждается новизной и принципиальной важностью вытекающих из него следствий.
5. Теория Абрагама. В 1912 г. М. Абрагам предложил теорию гравитации, обобщающую закон Ньютона без учета принципа относительности [51. В основу этой теории положено следующее уравнение для гравитационного потенциала:
(3,4,3)
(3,4,4)
д2ф дх2
где X, у, г — прямоугольные декартовы координаты, и — переменная, связанная со временем t соотношением и = ict9 і — мнимая единица, р — собственная плотность.5. Теория Абрагама
69
В математической физике дифференциальное уравнение (3,5,1) называется уравнением Даламбера. Его решение
Ф(*. У. О ssJjj-^P (*'¦ У'> г'>1 - 4) {3'5<2)
носит название запаздывающего потенциала. Интегрирование производится по всему объему, в котором распределены массы, определяющие данное поле тяготения. Через г' обозначено расстояние данной точки Xt у, г от элемента объема dx', расположенного в точке х', у', Zt. Значение объемной плотности в точках
г»
*'» */'» должно быть взято для момента /--—, т. е. с запаздыванием, соответствующим передаче гравитационного действия со скоростью с. Таким образом, в теории Абрагама принимается, что гравитация распространяется со скоростью света.
Пространственно-временной интервал, определяющийся известной формулой специальной теории относительности
ds2 = — dx2 — dy2 - dz2 — du2, (3,5,3)
связан с элементом dx собственного времени соотношением ds = cdi.
Рассматривая пространственные координаты и переменную и в функции собственного времени, введем составляющие скорости X =
dx du - dx du
= ... и = и составляющие ускорения х = ... и = .
Ускорение частицы, движущейся в поле тяготения, равно четырехмерному вектору напряженности f = grad <р. Приравнивая проекции этого вектора составляющим ускорения, Абрагам постулирует закон движения частицы в виде
Нетрудно убедиться в том, что преобразование Лоренца изменяет форму уравнений (3,5,4), показывая, что принятый Абрагамом закон движения противоречит СТО.
Если принцип постоянства скорости света, положенный в основу СТО, сохранить и при наличии поля гравитации, то четырехмерный вектор скорости частицы должен быть перпендикулярен четырехмерной напряженности поля. Действительно, внеся в (3,5,3) соотношение ds = cdxt получим
X2 + у*+ Z2+ и2 = —Ci.
Дифференцируя это равенство по собственному времени при с = = const, находим
XX + уу + ZZ + UU = О,
откуда и следует высказанное выше утверждение.70
Г лава III. Развитие закона тяготения
Если же отказаться от указанного принципа и допустить, что в поле тяготения скорость света переменна, то после дифференцирования того же равенства получится
XX + уу + ZZ + UU = — CC.
de
Вместе с законом движения (3,5,4) это соотношение дает с = = —. Следовательно,
C2 = C- 2<р,
где С — постоянная интегрирования. Положив с = C0 при ф = 0, находим
с2 = Со — 2<р.
Считая отношение достаточно малым, можно написать
H1-I)'
что совпадает с формулой Эйнштейна (3,4,3), основанной на принципе эквивалентности.
Приложим решение (3,5,2) к случаю, когда поле обусловлено одной точечной массой, движущейся по произвольному закону. Найдем запаздывающий потенциал в точке x,y,z в момент времени t. Как и в главе II, радиус-вектор движущейся массы относительно данной точки обозначим через г, а ее скорость — через v. Пусть Ґ — некоторый предшествующий момент; радиус-вектор и скорость, отнесенные к этому моменту, обозначим через г'иу'.В соответствии с принятой гипотезой о скорости распространения гравитации по-
г'
ложим t — f = —.
с
С точностью до постоянного множителя решение (3,5,2) приводится в этом случае к величине
Ф=-^ (3,5,5)
с
и носит название потенциала Лиенара — Вихерта.
Нетрудно убедиться в том, что запаздывающий потенциал (3,5,5) отличается от обычного ньютонового величинами второго порядка
относительно —.
с
В главе II мы получили приближенное соотношениеб. Теория Нордстрема
71
в котором через W обозначено ускорение движущейся точечной массы. В соответствии с теоремой живых сил произведение rw считается величиной порядка хР.
С помощью этого соотношения находим
г' + III! = r{ 1 - — — + J^- _ Jiil
r^ с \ 2 с® 2с2г2 2с2 [ •
Поэтому с точностью до членов второго порядка потенциал Лие-нара — Вихерта равен
1 . 1 ( 1 U2 (Г, V)2 , Г, W \ /О С CV
и не содержит членов первого порядка относительно у.
Отсюда непосредственно следует, что теория Абрагама также свободна от эффектов, присущих дорелятивистским обобщениям закона Ньютона, и поэтому она не может привести к резким противоречиям с наблюдаемым движением небесных тел. Отличие от механики Ньютона, как и в случае теории Пуанкаре, начинается с членов второго порядка, отвечающих тонким особенностям движения. Однако эффекты второго порядка в теории Абрагама не представляют интереса, поскольку в этом приближении данная теория ошибочна. С современной точки зрения, всякое обобщение закона тяготения должно отвечать требованиям СТО. Между тем, теория Абрагама, как уже сказано, противоречит принципу относительности, поскольку принятый в ней закон движения не удовлетворяет преобразованиям Лоренца.