Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Выбрав каким-нибудь способом начало, построим в пространстве Эвклида радиус-вектор г и будем считать этот вектор функцией координат его конечной точки: г = г (л:1, ... хп). Частные производные-^- = et представляют собой единичные векторы касательных
к координатным линиям; будем называть их координатными векторами. Во всех точках пространства они линейно независимы. Это значит, что сумма вида /HaCa не может оказаться равной нулю ни при каких значениях коэффициентов ma, если только исключить тривиальный случай, когда все та = 0.
Рассмотрим две бесконечно близкие точки пространства с координатами гиг + dr. Разложив дифференциал радиуса-вектора на компоненты, направленные вдоль координатных линий, можно написать
dt = CadXa, (4,1,1) /. Эвклидово пространство в криволинейных координатах
83
где Clxa — дифференциалы координат, которые являются с о -ставляющими вектора dr.
Тот же вектор можно задать другим способом, определив его с помощью проекций на направления координатных линий в данной точке. Обозначив проекции через dxif имеем dxt = dr, ес. Если употребляются прямоугольные координаты, то составляющие и проекции совпадают; в общих координатах они различны.
Преобразуем координаты, перейдя от системы tf к новой системе xv. Форму преобразования оставим неопределенной, но допустим, что она удовлетворяет необходимым для дальнейшего аналитическим требованиям, в частности, позволяет однозначно выразить координаты одной системы через координаты другой. Введенные выше величины в новой системе координат обозначим через er9 dxi'9 dx?.
Радиус-вектор г какой-либо точки пространства представляет собой функцию ее координат Xi9 которые, в свою очередь, являются функциями переменных Xі'. Поэтому, дифференцируя вектор г по координате Jtr, получим
дг дт дха
дх!' дха дх>* '
где а — индекс суммирования, принимающий значения 1,2, ...п. Следовательно,
et" = -f^T- Єа. (4,1,2)
дх:
Координатные векторы преобразуют с помощью матрицы ^-^rj,
элементами которой служат п2 производных от старых координат по новым. Если обе системы декартовы, то эти производные постоянны; в общем случае они являются функциями координат.
Выразим новые координаты через старые: хс = Xі' (X19 Xа). Образуя полный дифференциал, находим закон преобразования составляющих вектора dr
dxr =-^rdxa. (4,1,3)
В этом случае преобразование осуществляется с помощью матрицы обратной матрице
По определению, проекции вектора dr в новой системе равны dxr =: dr, е*'. Внеся сюда (4,1,2), получим
dXi' = (dr'Єа) = ^r dx^ (4Л ,4)
6* 84
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
Сравним формулы перехода (4,1,3) и (4,1,4) с соотношением (4,1,2). Проекции вектора dr преобразуются как координатные векторы, а его составляющие — по обратному закону. В соответствии с этим вектор, заданный проекциями, принято называть к о в а р и -а н т н ы м, тогда как при задании его составляющими он называется контравариантным. Те же термины употребляются для обозначения компонент вектора: dxt — ковариантные, dx1 — контравариантные. Индекс ковариантности служит нижним значком, индекс контравариантности — верхним.
Нетрудно найти связь между ковариантными и контравариант-ными компонентами вектора dr. Внеся (4,1,1) в соотношение dxt = = dr, е(9 получим
Коэффициенты gik, связывающие компоненты обоих типов, играют в тензорном анализе очень важную роль и встречаются во многих формулах геометрии. В частности, они позволяют составить общую формулу, определяющую расстояние между двумя смежными точками пространства. Если радиусы-векторы этих точек соответственно равны г и г + dr, то расстояние ds между ними можно определить с помощью очевидного соотношения ds2 = dr, dr. Воспользовавшись разложением (4,1,1), получим ds2 = (е?, е7) dxldxK Следовательно,
Суммирование выполняется здесь по каждому из индексов. Коэффициенты gif представляют собой функции координат; общее их число равно п2. Однако среди них имеются равные, поскольку ПО определению ОНИ удовлетворяют условию симметрии gif = = gjt. Нетрудно убедиться в том, что число различных значений
gij в общем случае равно (п + 1).
Найдем закон преобразования величин gu при переходе от одной системы координат к другой.
По определению, имеем gi'f = (et", є,-). Поэтому, согласно (4,1,2), получим
dxt = (е„ еа) dxa = gIadxa.
(4,1,5)
= gtjdx'dxL
(4,1,6)
т. е.
(4,1,7)
Для вычисления НОВЫХ значений коэффициентов gif необходимо дважды применить матрицу, с помощью которой преобразуются 1. Эвклидово пространство в криволинейных координатах
85
ковариантные векторы. Величины, преобразующиеся по закону (4,1,7) являются компонентами ковариантного тензора второго порядка. В соответствии с таким определением ковариантный вектор следует назвать ковариантным тензором первого порядка.
Аналогично вводится определение контравариацтно-го тензора второго порядка. Пример такого тензора можно построить, вернувшись к соотнощению (4,1,5), связывающему ко- и контравариантные компоненты элементарного вектора dr.
