Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Введем угол а, образованный радиусом-вектором частицы и ее скоростью. Считая, что оскулирующей орбитой является эллипс, этот угол можно определить с помощью (1,6,7). Формула (3,2,1) показывает, что кроме центральной силы притяжения, отвечающей обычной форме закона тяготения Ньютона, к частице приложено возмущающее ускорение
гг Y M о2 ^ = ^r COS а,
направленное по касательной к орбите.
Проекции этого ускорения на радиус-вектор частицы и на перпендикуляр к нему равны
R = -"7Г- -^r cos2 a; S = sin а cos а. (3,2,2)
Ввиду относительной малости возмущающего ускорения скорость частицы можно вычислить по обычной формуле задачи двух тел,
2 _ Ум 1 + g2 -f COS ф
v - а 1-е2
где а — большая полуось, е — эксцентриситет орбиты. Внося это значение в (3,2,2) и учитывая (1,6,7), получим
= Л"-*) Sin*ф: = ^sin<Р- (3.2.3)
Влияние возмущающего ускорения на движение частицы можно исследовать по методу вариации элементов. Воспользовавшись 3-м, 62
Г лава III. Развитие закона тяготения
4-м и 5-м уравнениями (1,6,3), легко находим Ad _ 2уМ sin2 <р
dq> с2а (1 — ег) •
(1 + ё* + 2гсоз<р);
(3,2,4)
(е + cos <р),
определяющие движение линии апсид и изменение размеров и формы орбиты.
Ввиду малости этих эффектов интерес могут представить только вековые изменения элементов, которые находятся путем интегрирования соотношений (3,2,4) по истинной аномалии. Интегрируя, находим приращение элементов за время одного обращения
Большая полуось и эксцентриситет орбиты не испытывают вековых изменений; линия апсид вращается в плоскости орбиты в прямом направлении.
Впервые этот эффект, обусловленный зависимостью массы движущейся частицы от скорости, обнаружил Зоммерфельд при исследовании движения электрона в электрическом поле атомного ядра. Полная энергия электрона оказалась зависящей не только от его эллиптического движения, отвечающего случаю постоянной массы, но и от прецессии орбиты, что позволило дать первое объяснение тонкой структуры спектра водорода.
Качественно эффект (3,2,5) отвечает известному движению перигелиев планетных орбит, но количественно он оказывается в три раза меньше найденной Эйнштейном величины, хорошо согласующейся с наблюдениями. Например, в случае Меркурия формула (3,2,5) дает для векового перемещения перигелия около 14" в столетие вместо наблюдаемых 43\
3. Обобщение закона тяготения Ньютона. Выше рассматривалось влияние релятивистского эффекта массы на движение частицы в центральном поле при условии, что закон тяготения Ньютона сохраняет обычную форму. Полученные результаты могут представить известный интерес, поскольку в случае статического поля закон тяготения не вступает в явное противоречие с выводами СТО. Однако рассмотренная задача имеет очень ограниченное значение. Для развития теории гравитации гораздо больший интерес представляют попытки согласовать с принципами СТО общую форму закона тяготения. Вопрос о возможности такого согласования с большой,глубиной и тщательностью рассмотрел в 1905 г. Пуанкаре [21.
Aco =
2 пуМ
; Aa = Ae = 0.
(3,2,5)
с*а( 1 — е*) 3. Обобщение закона тяготения Ньютона
63
К этому времени было окончательно установлено, что явления электромагнетизма удовлетворяют специальному принципу относительности, т. е. протекают по одним и тем же законам во всех инерциальных координатах. Математически этот принцип выражается в инвариантности уравнений электромагнитного поля относительно преобразований Лоренца, с помощью которых осуществляется переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. Для доказательства общности этого принципа Лоренц высказал гипотезу о том, что и силы другой природы, какою бы ни было их происхождение, ведут себя при указанном преобразовании так же, как и электромагнитные силы. Гипотеза Лоренца относится, в частности, к силам гравитации. Она требует отказа от дальнодействия и согласования формы закона тяготения с принципом относительности.
Следуя Пуанкаре, мы перечислим здесь основные условия, которым должно отвечать такое согласование.
Пусть частица, обладающая скоростью V0, испытывает притяжение со стороны материальной точки, движущейся со скоростью v. Радиус-вектор притягивающей точки относительно данной частицы обозначим через г. Отказавшись от принципа дальнодействия, допустим, что сила притяжения в данный момент времени t зависит от положения и скорости притягивающей точки в некоторый предшествующий момент /'. Относительный радиус-вектор и скорость точки в этот момент обозначим через г' и v' соответственно. Необходимо получить соотношение
Ф(/ — г', V', V0) = 0, (3,3,1)
определяющее время распространения гравитационного действия в зависимости от относительного расположения и скоростей притягиваемой и притягивающей частиц, и найти силу притяжения, выразив ее через г', v', V0.
Решение этой задачи ограничивается следующими условиями.
1. Уравнение (3,3,1) должно сохраняться при преобразовании Лоренца.
2. Сила притяжения удовлетворяет принципу относительности, т. е. изменяется при преобразовании Лоренца так же, как и электромагнитные силы.
