Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
-Тй^И-тS-^-O-
Проекции второй силы на те же направления таковы:
g = _Є SllKp ? = 1 + g COS у у. цр _ Q
(1 + е2 + 2<?cos ф) 2 (1 + в2 + 2е COS ф) 2
Здесь через T обозначена абсолютная величина этой силы.
Результирующая обеих сил имеет проекции
р ___2уМт V__esin ф_.
К~ (М -f т) г2 "V ± •
(1+^ + 26 cos ф) 2
о __ 2уМт V 1 +есо$ф . Z9it-V
^ - (М + т)г2 Г ' Лу '
(1+ е2 + 2е cos ф) 2
W = O.
Допустим, что в ньютоновом приближении, которому отвечает V = оо, орбита является эллиптической. Найдем вековые вариации, вызываемые в элементах орбиты возмущающим ускорением (2,4,5). С этой целью воспользуемся общими уравнениями (1,6,3), определяющими оскулирующие элементы в функции истинной аномалии. Основной интерес представляют элементы (о, а, е.
Внесем (2,4,5) в уравнения (1,6,3). Для орбитальной скорости можно при этом принять формулу
+* + *«» «А
которая непосредственно следует из интеграла живых сил ньютоновой задачи двух тел. 4. Отказ от принципа дальнодействия
45
Выполнив необходимые вычисления, получим
dm __AyMm (1 + е cos у) sin <р
T-T T '
(ЛІ + т) [у (М + т)\ 2 а 2 (1 — е2) 2 eV
-?- =-4уМта±-J- [I — е2 -{- 2ecos ф(1 +е cos(p)]\
(М + т) Iy (М + т)] 2 (1 — е2) 2 V
de _ _4уМт (1 + g cos у) cos у_
(М + т) [у (М -f- т)\ 2 а2 (1-е2)2 V
Изменения элементов за время одного обращения находятся путем интегрирования по полярному углу, после чего легко убедиться в том, что эти изменения равны
Д(0 = 0;
Aa =
Jl
8лу Mma 2
L JL 2/1 _Л2\ 2 і
(М + т) (Y (М + т)] 2 (1 - е2) 2 V д^__AnyMme
(2,4,6)
-L JL j_ *
(М + т) [у (М + т)\ 2 а 2 (1 — е2) 2 V
Для количественной оценки эффектов достаточно рассмотреть ограниченную задачу двух тел, т. е. случай т M, когда формулы упрощаются.
До) = 0;
Aa
_ 8л у та 2
'.у
Ap - 4jlVmg
— Т73 •
(уМ) 2а2 (1 — е2) 2 ]/
При взаимодействии по закону (2,4,3) размеры и форма орбиты в задаче двух тел испытывают вековые изменения, зависящие от скорости распространения гравитации. Наиболее существенным эффектом является изменение большой полуоси орбиты, указанное еще Лапласом.
Применяя формулы (2,4,7) к гелиоцентрическому обращению Земли и положив, что передача гравитации происходит со скоростью 46
Г лава II. Попытки уточнения закона Ньютона
света, находим А а = 1,1 • IO5 см, Ae = 6 • IO""11. Вторая из этих величин пренебрежима, тогда как первая — недопустима велика.
Д#я Луны этот эффект оказывается еще более значительным: при V = C формула (2,4,7) дает Да ^ 5 км/год. Как известно, наблюдения показывают, что в действительности большая полуось орбиты в задаче двух тел не испытывает вековых изменений. В связи с этим Лаплас указал, что при отказе от принципа дальнодействия необходимо постулировать чрезвычайно большую скорость передачи гравитации, во много раз превосходящую скорость света. К аналогичным заключениям приходили и более поздние исследователи, напр. Оппольцер, Леман и др.
Следует заметить, что многие авторы, принимая принцип конечной скорости распространения гравитации, изменяли также форму закона тяготения. При этом вековое возрастание большой полуоси орбиты в задаче двух тел не является необходимым следствием отказа от гравитационного дальнодействия. В качестве примера рассмотрим закон
f і (-S-f + -S--S-]. (2.4.8)
предложенный в 1876 г. Цельнером 116].
В этом случае в задаче двух тел сила остается центральной, но, кроме ньютоновой компоненты, отвечающей обычному закону обратных квадратов, появляется возмущающее ускорение
направленное по радиусу-вектору.
Если невозмущенное движение является эллиптическим, то с достаточной точностью можно написать
Г2R = <3* sin2 Ф - 2cos ф - 2е). (2,4,9)
Пользуясь методом оскулирующих орбит, нетрудно определить вековые эффекты, обусловленные законом Цельнера. Внося (2,4,9) в уравнения (1,6,3) для оскулирующих элементов и выполняя затем интегрирование по полярному углу, находим приращения элементов за время одного обращения
= (2,4,10)
Мы видим, что в данном случае большая полуось и эксцентриситет орбиты не испытывают вековых изменений; орбита только медленно прецессирует в прямом направлении.
Формула (2,4,10) хорошо согласуется с наблюдаемыми невязками в движении перигелиев планетных орбит. Действительно, 4. Отказ от принципа дальнодействия
47
при V = 1,73 • IO10 см . сек'1 эта формула дает значения, близкие к (2,1,6). Однако такое объяснение нельзя признать удовлетворительным, поскольку закон Цельнера (2,4,8) является лишь формальной гипотезой, не получившей обоснования с физической точки зрения.
Другим примером может служить закон тяготения Гаусса
^=^(1 + -^^-3(^)]}, (2,4.11)
где — V относительная скорость взаимодействующих тел.
Радиальное возмущающее ускорение в задаче двух тел определяется в этом случае соотношением
r*R = -lIiV-^v* <3e*cos*Ф + 4еcosф + 2-е% а изменения элементов орбиты в течение одного обращения равны Aa = Ae- 0, = + (2,4,,2)
И здесь единственным вековым эффектом в задаче двух тел является прямое движение линии апсид. Количественное совпадение этого эффекта с наблюдаемой невязкой (2,1,6) получается при V = = 2,7 . IO10 см/сек.
