Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
д2 д2 д1 (A22 + ^33)+-^2 (А33 + A11) + (A11 + A22)
и внесем ее в (II, 8,2). Выполнив необходимые упрощения, получим уравнение
которое служит для определения A44.
Таким образом задача приводится к интегрированию уравнения Пуассона (II, 8,5), которое позволяет найти поправку A44 последней из компонент метрического тензора, и к вычислению поправок трех других диагональных компонент при помощи соотношений вида (II, 8,4). Мы не будем выписывать соответствующие формулы в общем виде и ограничимся только предельным случаем к оо, который нас непосредственно интересует. Для перехода к пределу при к оо вместо (11,8,5) можно воспользоваться уравнением
так как вне нулевой точки функция as, согласно ее определению, имеет при достаточно большом к сколь угодно малое значение.
Решение этого уравнения по методу Пуассона содержит интегралы вида
взятые по всему пространству. Каждый из таких интегралов расходится, как нетрудно убедиться на основании определения функции as.
В самом деле, интеграл
Afo4-2l?) = 8я?т, {jas(-g- - a>)dx +
+ b) cs) dz), (II, 8,5)
A (ku - 2(/2) = 8я ? ms {| (-? - asJj osdx +
+ W1S - *'] I а4У + [(- asd2I' (11' 8'6)
(II, 8,7)
можно представить в виде
\п(х' — x + r') jjo'sdx' — j os In(х' — X+ r')dx'
—во —oo или
lim In -—x~\r \ Osdxff *'-<*> aS-* +rS J
так как
lim (xf —x-h r') = lim , * , ,
Xf-*—OO 00
и при достаточно большом X можно написать
4-ое -f-оо
j o's In (х' — X + ґ) dx' = In (as — х + rs) J
—оо —оо
Поэтому рассматриваемый интеграл, а следовательно и каждый из трех объемных интегралов вида (И, 8,7) расходится, показывая, что при произвольных законах движения точек системы уравнения поля не имеют конечного решения. Для существования решения необходимо, чтобы коэффициенты при каждом из интегралов вида
і'
Ogdx в (II, 8,6) тождественно исчезали, т. е., чтобы система точечных масс удовлетворяла закону движения Ньютона
dU , dU •• dU /тт Q Qx
Таким образом, закон движения Ньютона является условием интегрируемости уравнений поля Эйнштейна. При соблюдении (II, 8,8) уравнение (11,8,6) переходит в уравнение Лапласа
Д (A44 — 2 U2) = О,
показывающее, что разность A44 — 2U2 есть функция, гармоническая во всем пространстве. Следовательно,
A44 — 2U2 = const. Принимая во внимание условие на бесконечности, получаем
^44=2 (11?")2- (П,8'9)
Полное значение последней компоненты метрического тензора в данном приближении дается формулой
е-- ¦ - (^r Ws^f -2 <"• 8-'°>
или, если употреблять обозначение (II, 7,6),
("-е.'!)
88 Остальные поправки определяются теперь непосредственно по формулам вида (И, 8,4). Так,
Аналогичные соотношения нетрудно составить для A22, A33.
Интегрирование уравнений поля с точностью до членов второго порядка завершено. Выполненное исследование показывает, что условием интегрируемости уравнений поля в данном приближении является ньютонианский закон движения для точек системы. Таким образом закон движения в поле тяготения утрачивает самостоятельное значение и должен рассматриваться в качестве следствия уравнений поля. Как уже указывалось в гл. I, обоснование этого заключения впервые было получено в работе Эйнштейна, Инфельда и Гофмана [25], а несколько позже в известном исследовании В. А. Фока [26], разработавшего метод интегрирования уравнений поля для системы конечных тел в так называемых гармонических координатах.
§ 9. Скорость передачи гравитации и парадокс Лапласа
Как известно, в ньютонианской теории тяготения существенную роль играет принцип дальнодействия, согласно которому граЕИгацнонное взаимодействие происходит без участия промежуточной среды. Тяготение описывается в теории Ньютона полем потенциала, обусловленным лишь геометрией масс. Если для какого-либо момента времени задано пространственное распределение плотности, то поле потенциала для того же момента находится путем интегрирования уравнения Пуассона при соответствующих граничных условиях. Изменение геометрии масс вызывает мгновенное изменение поля гравитации. Иными словами, тяготению приписывается бесконечно большая скорость, что с принципиальной точки зрения является одним из наиболее слабых моментов теории Ньютона.
В теории относительности вопрос о скорости распространения гравитации имеет определенный физический смысл, хотя он и не получил пока вполне однозначного решения. В случае слабого поля элементарное решение задачи содержится в рассмотренном выше методе интегрирования Эйнштейна.
Согласно решению (II, 4,2) компоненты метрического тензора в какой-либо заданной пространственно-временной точке определяются полем тензора энергии-импульса.
Пусть требуется определить систему поправок ha в точке х, у, z для момента t. При вычислении интеграла (II, 4,2) для элементарного объема dx'dy'dzнаходящегося на расстоянии г' от заданной
89 точкя х, у, z, должны быть составлены значения компонент тензора энергии-импульса, взятые для момента t—г', или, если вернуться
к обычным единицам измерения, для момента t —r-. Иными
