Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
г* о г*.-!*»*»- г' ==>__LniidIiL =
I4- 2g dxj , !„=> 2 g * L ii 2 & дхі •
где і, /, k — различные фиксированные индексы.
Внеся эти значения в (III, 1,2) и принимая во внимание, что метрический тензор не зависит явно от времени, легко привести уравнения движения к виду
d ! S0G dxa \ 1 ^gaa / dxa
2
(III,1.3)
Положим X1 = г, X2 = ft, X3 = ф и найдем первые интегралы уравнений (III, 1,3). Последнее уравнение этой системы, соответствующее a =-3, непосредственно дает
где Ci — постоянная интегрирования. Положив затем a = 2, имеем
d Г 2 /i 2m i—i d$ 1 о . a a/, 2 т -і і дФ \2 л
Wr (1-—) г sin^cos^l ~j ~
Если внести сюда значение из (III, 1,4) и умножить это уравнение на 2г2 (1 — » то после интегрирования получится
d$Y С\\ 1 Л 2m ^2
где C2 — новая постоянная интегрирования. Уравнение (III, 1,5) непосредственно показывает, что задача Кеплера является, как и в ньютонианской теории, плоской. В самом деле, выбрав систему
7* 99 координат таким образом, чтобы в начальный момент t0 движение происходило В ПЛОСКОСТИ d =3^-, Т. е., чтобы при t = to выполнялись условия
v 2 9 dt U'
получим из (III, 1,5) C12 =C22. В этих координатах уравнение (III, 1,5) переходит в следующее
показывая, что вообще должно быть Ф = Вместо (III» 1,4) напишем теперь
^ = 1(Ш.1,6)
При а = 1 интегрирование уравнения (III, 1,3) оказывается сложнее, поэтому первый интеграл его мы получим косвенным путем.
Вернемся к уравнениям геодезической линии в первоначальной форме (I, 2,15). Последнее из них, соответствующее а = 4, имеет вид
d4 , -р4 dxa dxfi Л
ds2
Из символов Кристоффеля, входящих в это уравнение, в данном случае может отличаться от нуля лишь при а Ф 4. Поэтому
ИЛИ
ds* nr^ 04 ds ds (Pt , d Ing4i dt
ds2 ~ ds ds
= 0,
откуда получается
dt і 2m і
где h — постоянная интегрирования.
Решению Шварцшильда соответствует квадратичная форма (II, 1,7). Разделив ее на ds2 и внеся найденные ранее производные
dtp dft ds „ ,
и а также получим первый интеграл уравнения а = 1.
IOQ Таким образом, в выбранной системе координат закон движения частицы определяется формулами (III, 1,6—7).
Для составления дифференциального уравнения орбиты разделим (III, 1,7) на возведенное в квадрат соотношение (III, 1,6).
1 а2
Введя переменную и =-J YL ПрИНЯВ обозначение Cf = J12 » П0"
лучим
+ (111,1,8)
Прежде чем перейти к общему исследованию уравнения (III, 1,8)» рассмотрим простейший частный случай, который в дальнейшем будем предполагать исключенным.
Пусть a S= 0. Вместо (III, 1,7,8) имеем
dy п ( dr\2 Z1 2m 2Г 1 / 2m 1
-аг = 0' Ы) =(1--) L1-ST^1--|J-
Первое из этих уравнений показывает, что орбита представляет собой прямую линию; движение происходит в радиальном направлении. Второе уравнение определяет зависимость между переменными г, t. При T1 =s 2 т и r2 = скорость принимает нулевые
значения. В точке гъ переменная г имеет стационарное значение,
dr (Pr
так как при г = гх исчезают все производные-^r,..., в то время
как в точке г2 нулевое значение принимает только первая из этих производных. Вследствие этого при всех значениях постоянной h орбита простирается от точки T1 до оо. Сферу радиуса T1 называют гравитационной поверхностью.
§ 2. Классификация орбит
Входящий в общее уравнение (III, 1,8) полином
г/ X ч "а . и . fc2—1
для всех вещественных точек орбиты может принимать только положительные или нулевые значения. Поэтому мы будем рассматривать лишь те интервалы значений переменной и, которые удовлетворяют условию 0 ^ и ^ ^ и дают f(u) ^ 0. Для отыскания
этих интервалов необходимо исследовать ход функции f(u).
Пусть вещественные корни полинома f(u) в порядке их возрастания будут M1, ы2, из. Введем обозначения
P = -J [9 (Л2— 1) + 1], a =
а1(2 = Т-|+}/"4- + Р (ПІ,2,1)
101 и, не приводя соответствующих вычислений, перечислим интервалы значений и при различных предположениях относительно постоянных А, а.
^ ^ 9 Ю<а<1
а2 < 12т2 О а (X1
а = (X1
4 < A2 < 1
А2 = 1
Л*> 1
Вещественные корни по- Интервалы значений
переменной и
линома f(u) U1 > О
^>0
__ 1 — Tal 6 т ' !+CZ1
U1 = «2,3 =
^1 < а с а2 а = O2
O2 < а < 1
rO2 < 12т2 О ^ а < ах
а = (X1
Ct1 < а < 1
(а2 < 12т2
0<а<(Х! а = (X1
«і < а < 1
6т
«і>0, и2, W3
I-O2
'-1,2
6т
„ - ! + 2^
sL)
("ь І)
(«1, U2) (и*
«1.2
U1 > О U1
2т)
(о. к)
(О, «2) ^3, 2mj
«2,3 :
«1 = 0,
3 4= (4а2— 1 12т
«1
«л < О
— J-2aI ~~ 6т '
1+аг
= ~6т~ U1 < 0, u2i U3
(0' і)
(0. «2) ("3-2^).
При некоторых значениях постоянных h, а существуют два различных интервала, которым соответствуют две различные орбиты. В подобных случаях выбор орбиты определяется начальным
102 значением щ. В дальнейшем принимается следующая классификация орбит.
Орбиты класса А определяются монотонным изменением переменной и от нуля или от некоторого и > 0 до 2^. К этому классу
относятся случаи:
