Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Z44 — компонента псевдотензора энергии гравитационного поля, заданная соотношением
где qa& =Sa^V—g, qf* =^ , qa{\ a L—функция Лагранжа
L = (".10,3)
Воспользуемся общей формулой (II, 10,1) для определения массы рассматриваемой системы.
Ограничиваясь членами первого порядка относительно ньюто-нианского потенциала U1 имеем согласно приближенному решению Эйнштейна квадратичную форму
ds2 = -( 1 + 2U) (dx2 -t dy2 + dz2) + (1- 2 U) dt\ (II, 10,4) которой соответствует метрический тензор
gii = Ьи - 2t/, gij = 0, іф j с определителем g = — 1 — 4 U. Компонента плотности тензора
92 энергии-импульса в данном приближении равна F]=Q0«(?r
или, если принять во внимание линейный элемент (11,10,4),
F44 = Q0 (1+2 U+ Vt). (И, 10,5)
Функция Лагранжа (II, 10,3) содержит члены не ниже второго порядка. С достаточной для наших целей точностью эта функция вычисляется по формуле
Внося сюда выражение символов Кристоффеля через компоненты метрического тензора, получаем после необходимых упрощений L = 2 (grad U)2. Компонента псевдотензора энергии поля сводится в этом приближении ко второму члену правой части (II, 10,2), так как первый член имеет более высокий порядок и может быть опущен. Следовательно,
П = ^r (grad U)2. (11,10,6)
Величина (II, 10,6) вполне аналогична максвелловой плотности энергии электрического поля в пустоте и может быть названа плотностью энергии поля гравитации. Как мы увидим ниже, интеграл, взятый от t\ по всему пространству, определяет потенциальную энергию системы тел, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона. Внося (II, 10,5—6) в (II, 10,1), имеем
т = f jj Q0 (1 + V2 + 2U) dxdydz + ^Jj (grad U)2dxdydz. (II, 10,7)
Вычислим интегралы (II, 10,7). Элементы первого из них тождественно исчезают для всего пространства вне тел системы. Поэтому величина интеграла сводится к сумме интегралов, взятых по объемам тел системы.
Рассмотрим бесконечно малую окрестность какой-либо точки, принадлежащей телу ms. Для этой окрестности примем эвклидову геометрию, положив, что в линейном элементе (II, 10,4) ньютониан-ский потенциал имеет постоянную величину Usi которую можно считать одинаковой для всех точек данного тела. Соответствующий элемент интеграла равен
Qos (1 + ^ + 2Us) dxdydz. Произведя преобразование
= +Us), у' = у( 1 + Us)t z' = z(l +(Js)9 t' = t( 1 +Us),
превращающее квадратичную форму (II, 10,4) при U =Us в линейный элемент специальной теории относительности, получим
dxdydz = dx'dy'dz' (1 — 3Us).
93 Если ввести теперь элемент собственного объема
dco = dx'dy'dz' (1 - vl)~ \ то предыдущая формула примет вид
dxdydz = (1 — W9) (і — у d® и рассматриваемый элемент интеграла будет
Следовательно,
+ V2 + 2U)dxdydz = Jms + - JmeCZr (И, 10,8)
Переходим к определению второго из интегралов (II, 10,7), при вычислении которого можно пренебречь уклонением от эвклидовой геометрии, так как учет этого уклонения окажет влияние лишь на члены более высокого порядка малости. Пользуясь известным соотношением векторного анализа
div (U grad U) = UAU + (grad Ufi
находим
jjj (grad Uf dxdydz = j j J div (U grad U) dxdydz — JJJ UAUdxdydz.
Первый член правой части приводится по формуле Гаусса к интегралу
JJt/(grad LOndS,
взятому по сфере бесконечно большого радиуса. Этот интеграл исчезает по условию на бесконечности, и мы имеем
j Jf (grad Uf dxdydz = — j J j U AU dxdydz. Если принять во внимание уравнение Пуассона, то получится
і f jJ (gradUf dxdydz - 4 S :10'9>
Внося (II, 10,8—9) в (И, 10,7), окончательно находим
+ m'U°' (»•10'10)
Первый член правой части равен сумме собственных масс тел системы, а второй и третий представляют собой соответственно кинетическую и потенциальную энергию системы. При этом полная
94 V* mslis 1 V1
энергия E = Z-I ""ТІ rris^s не изменяется, поскольку система, следуя законам движения Ньютона, удовлетворяет интегралу живых сил.
Таким образом, мы видим, что инертная масса изолированной системы остается постоянной и отличается от суммы собственных масс на величину полной энергии.
§ 11. Внешнее решение для однородного вращающегося шара
В заключение рассмотрим внешнее поле гравитации однородного шара, равномерно вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр [64].
В механике Ньютона внешнее поле тяготения однородного шара не зависит от его вращения вокруг диаметра и удовлетворяет условию сферической симметрии. В теории относительности вращение однородного шара нарушает центральную симметрию поля. Поле гравитации сферического небесного тела (напр. Солнца или планеты) обладает симметрией относительно оси вращения и зависит не только от массы, но также от угловой скорости и радиуса тела.
Составим приближенное решение уравнений поля для однородного шара радиуса R0, вращающегося вокруг оси OZ с постоянной
УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ CO0.
Принимая обычное разложение g?j = бц + Iiii, воспользуемся общим решением Эйнштейна. Имея в виду последующее приложение, будем искать A44 с точностью до членов второго порядка относительно ньютонианского потенциала включительно, тогда как во всех остальных Ziij- сохраним члены только первого порядка относительно потенциала. При этом член второго порядка в A44 найдем без учета вращения, поскольку последнее вносит в него лишь пренебрежимую поправку.
