Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
's
-^j*a2a(a, X) da. s о
Потенциал, обусловленный второй массой, равен
оо
4rtjaa(a, X)da.
's
Поэтому функцию (II, 5,2) можно представить в виде
fs оо
Us = І5. J a2a (a, X) da + 4я J a (a, X) ada. (II, 5,4)
При конечном X функция (II, 5,4) непрерывна и конечна во всех точках, но при X оо она приобретает в точке as, bSJ cs бесконечно большое значение. Во внешних точках, отличных от as, bSJ cs, второй интеграл в (II, 5,4) исчезает при Х-> оо. В первом интеграле в качестве верхнего предела можно принять оо, вследствие чего, пользуясь определением функции а, получим Us = - и, следовательно,
lima J] (11'5'5)
"h rS
75 При произвольном А,, согласно (II, 5,4), имеем
's
W 4jt f dUc
oT = - f)™2da' limV = 0-
8S о
Отсюда следует, что производные от ньютонианского потенциала по координатам в каждой из точек as, bs, Cs удовлетворяют при любом к равенствам вида
I dU\ _ dU(k) \ дх Jk дак 9
где U (k) — потенциал масс с плотностью Qk = 2 msas в точке cLk,bkckt
Заметим еще, что потенциал U и функции Us представляют собой решения уравнений Пуассона At/ = —4яр, AUa = — 4яа5, которые при к оо переходят во всех внешних точках в уравнения Лапласа At/ = 0, Ai/S = 0.
Сохраняя условие предыдущего параграфа, потенциал и его производные по пространственным координатам, а также составляющие ускорений as, Ss, cs будем считать величинами первого порядка малости, тогда как компонентам скоростей as, bs, cs припишем порядок Va- Задача состоит в интегрировании уравнений поля с точностью до членов второго порядка включительно.
Как и прежде, будем употреблять разложение g?j = б,-/ +А//. Диагональные А/7 и смешанные Ax4 элементы в приближениях 1 и
з
соответственно даются решением (II, 4,4); элементы вида кц
(/, j ф 4) в этих приближениях исчезают, как легко заключить на основании (II, 4,2). Для того, чтобы довести решение до членов второго порядка включительно, необходимо уточнить значения компонент тензора энергии-импульса, так как формулы (II, 4,3) обеспечивают определение метрического тензора лишь с точностью до чле-
з
нов порядка -у. Это уточнение должно быть выполнено в соответствии с законом сохранения T1JJJ = 0. Введем
Tn = yZma2sGsi T12 = Yi™sasbsos, Tl3 = %msascsos,
Tu = S mAas, T22 = S m-Sfas, 723 = S /HsSsCsOs, T24 = ? msSsas, (II, 5,6) f" = Sme^J4. f34 = Smscsas, HVFr
и напишем искомые компоненты в виде
Til = Tii + S'7, (И, 5,7)
76 Три первые компоненты дивергенции тензора энергии-импульса выражаются формулами
дт?о
дх°
Tia Oi рог гріх , г*/ гр<тт
/<т =-Т-7Г + і Tdi +!та/
или, если принять во внимание значение символов Кристоффеля
Г(7 __ 1 dh г/ _ 1 (dhax dhiG dhiT ах~ 2 дхг ' 1ат~ 2 ^ dxi dxT дха
и ограничиться только членами первого порядка относительно потенциала,
Tia _ dS^ , ¦ 1 а/144 ^44
/<J~~ a*« ^ a*« + 2 дх' '
Вычислим первую из этих компонент. Согласно (II, 5,6) имеем dTl<s • / • да да,. . да дас \
+ 2 rnsasas = 2 "WT6,
так как
аао . аа аа -да,
__п _і I и _і I - _L
a/ — аа 1 °s Ж + Cs де
дое дос
==--Ti- и т- Д-
да дх
s
Далее, решение (II, 4,4) вместе с (II, 5,6) дает
1^44 п дй
2 дх 1 у дх '
Поэтому
as1(T , ^ du
Аналогичными формулами выражаются вторая и третья компоненты дивергенции.
Четвертая компонента дивергенции, которая должна быть вычислена с точностью до членов порядканаходится по формуле
~4(j ds4a , аТ4а , a /1 , . , \ ал44 _
= ^ + + -'-OFT«-
77 Внося сюда решение (II, 4,4) и очевидное равенство дТ40 V-I / -да да . да да о \
получаем
-Aa dSa4 W
Закон сохранения тензора энергии-импульса приводится в нашем случае к системе четырех уравнений
dSla dU
іа
OU Vl
\т*а*а&'
дх{
dS2° dU V^ 'и dS3° du
(И, 5,8)
дх* ~Q 'dz
dS4a = ___ dU__ dx° ~ Q at '
Выбор десяти поправок S'', удовлетворяющих этой системе, можно произвести различными способами. Положив
512 = S13 = S23 = S44 = О,
мы примем
511 =XXI ("S" - ^ dx>s22=XX f (-?- -Ai)dtji
S33 = ms J Os - Cs) dz, S14 = - у m$as Je dx, (II, 5,9)
S24 = -Sm^ J в ^^ 534 =-^msCs jg-^dz.
Формулами (II, 5, 6, 9) определяются контравариантные компоненты тензора энергии-импульса с точностью, достаточной для интегрирования уравнений поля во втором приближении. Ковариант-ные компоненты этого тензора находятся по формулам
Tii = (б,- Av + М,7 + 6//A«) Tij1
в которых индексы /, j, повторяющиеся в правых частях, являются фиксированными. При i9 j Ф 4 эти формулы дают значения
Tii = Г7, Tii = Tii + Siif Tu = - f'4, T44 = Г44— 4q(/, (II, 5,10)
которыми мы и воспользуемся для составления уравнений поля во
втором приближении.
78
-S' § 6. Уравнения поля во втором приближении
Для составления уравнений поля во втором приближении необходимо аппроксимировать тензор Риччи с точностью до членов второго порядка относительно величин A0- и их производных. Кова-риантные компоненты этого тензора выражаются, согласно (I, 3,21), соотношениями
/?- , Г0 Гв . дЧпу—g Ri'--^ + 1 «'l W ~ «-J^-+ dxLdxl •
