Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
1) когда функция f(u) имеет один вещественный корень;
2) когда функция f(u) имеет двойной ul92 и простой и3 вещественные корни и начальное значение задано в интервале и3,
3) когда все корни полинома f(u) вещественны и различны и
начальное значение лежит в интервале и3, Рассмотренный
в конце предыдущего параграфа случай а = О также можно отнести к этому классу.
К классу В относятся орбиты, для которых кратный корень функции f(u) превосходит простой корень. В этом случае, в зависимости от условий Uo ^ ы2,з переменная и монотонно возрастает от нуля (если Ui ^ 0) ИЛИ ОТ U1 (если U1 > 0) ДО W2,з ИЛИ ОТ U2,з до
. Если начальное значение совпадает с кратным корнем, то уравнение орбиты имеет ВИД U = U2iз.
Орбиты класса С определяются существованием трех различных корней полинома / (и), меньший из которых отрицателен или равен нулю, и заданием начального значения в интервале 0, U2. Орбиты этого класса характеризуются возрастанием переменной и от нуля до наибольшего значения и2 и последующим убыванием от U2 до нуля.
Наконец, к классу D относятся орбиты, для которых функция f(u) имеет различные положительные корни, а начальное значение U0 лежит в интервале и19 и2. Орбиты этого класса характеризуются колебательным изменением переменной и между U19 U2 и являются периодическими. При U1 = U29 а также при U1 = U2 = U3 орбита этого класса вырождается в окружность. В частном случае, когда Ul92 = 0, последняя будет бесконечно удаленной.
Переходим к систематическому исследованию орбит перечисленных классов.
§ 3. Орбиты класса А
Согласно принятому выше определению для орбит данного класса переменная и является монотонной функцией ф Пусть положительное направление <р соответствует возрастанию переменной и9
вследствие чего ^ ^ 0. В таком случае уравнение (III, 1,8) дает
и U9
103 Предположим, что мы имеем первый из трех случаев, перечисленных в определении орбит класса A1 т. е., что полином Ku) имеет
один вещественный корень. Трехчлен при всех вещественных
U—U1
значениях и остается положительным, и так как
' 4 ' u — ui du и—и,9
то очевидно
Введем новую переменную Ф при помощи соотношения
и = иг + УТЫ tg2--, (III,3,2)
из которого следует
f (U) = [/' (U1))2 (1 - & Sin2 Ф) tg2 -у COS 4 -у ,
где
V = (III,3,3)
2 V (U1) J
Тогда уравнение (III, 3,1) примет вид
ф-ф0 -IWnuofi (1?-
о о
ДФ =vj/1-Sin2 Ф, (111,3,4).
выражаясь через эллиптические интегралы.
Если h > 1, вследствие чего Ui ^ 0, то орбита имеет бесконечно удаленную точку. Точка орбиты, соответствующая наибольшему
значению переменной и = ~ , лежит на гравитационной поверхности. Пусть рассматриваемая орбита относится ко второму случаю, когда меньший из вещественных корней полинома / (и) двойной,
1 D
а начальное значение и0 принадлежит интервалу м3, ^ В этом
случае уравнение (III, 1,8) легко интегрируется в элементарных функциях
Ф — Фо =
у 2m (и3 — W1)
, /и — U1
arc tg 1 / --
s / W3 — U1
(111,3,5)
Орбита соединяет сферу и = из с гравитационной поверхностью. Предположим, наконец, что все корни полинома f(u) вещественны
1
и различны, а начальное значение U0 лежит в интервале и3, 104 Для простоты примем Uq = Uz, фо =0. Замечая, что величина f\ui) = (U1-U2)(U1-U3) по-прежнему положительна, употребим подстановку (III, 3,2). После необходимых преобразований получим
Ф = (НІ, 3.6)
о о
При этом модуль эллиптических интегралов, определяющийся теперь формулой
L2___і и2 + и3 — 2U1
2 + 41/ГШ '
превосходит единицу, так как при всех иъ и2, и3, удовлетворяющих условию U1 < U2 < Ufr отношение uz +W3 — 2U1 у (U1 — U2) {и, — U3)
будет больше двух Однако при всех
1
значениях и в интервале и3> ^ уравнение (III 3.6) остается вещественным, так как верхний предел интеграла не достигает значения <Dfe, удовлетворяющего равенству 1 — k2 Sin2CD* = 0
В самом деле, наибольшее значе-
^s 1
ниє Ф, соответствующее и = 2?, определяется формулой
1— Mlsm2Om = 0,
Рис. 3.
в которой
Г (U1) +
^ = T +
(І-"1)'
(в-*)"
("i)
Но
1
4 У г ("i) Поэтому Фт < Фк.
При вычислении по формуле (III, 3,6) следует предварительно произвести преобразование Asin Ф =sin\|), приводящее к эллиптиче-
1 / і
ским интегралам с модулем ^ < 1.
На рис. 3 изображены орбиты первых двух типов класса А. При
построении графиков принято: а = 0,6404.
й* = 1, a = 3,936 т; А» =
105 § 4. Орбиты класса В
Переходим к рассмотрению случая, когда полином f(u) имеет простой U1 и двойной м2,3 вещественные корни.
Прежде всего заметим, что если начальное значение U0 совпадает с двойным корнем, то орбита класса В является круговой. Действительно, так как при и = и2>3 все производные
*L = ущщ, А = тПи), % - «Г W ? ....
исчезают, то в точке н2,3 переменная и имеет стационарное значе-
ние, и, следовательно, а = и2,з. Уравнение орбиты имеет в этом случае вид
' = TTV (Ш'4Л)
Входящая в (III, 4,1) величина (X1 представляет собой согласно определению (III, 2,1) монотонно возрастающую функцию р. С другой стороны, как показывает табл. на стр. 102, полином f(u) имеет
