Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Положив /==/== 1, 2, 3, 4, получим
Au + TА =—4 A22 А = — 4 ^Tms 6ft/,,
Азз + у А = — 4 V mjgu* A44 - ^ h - - 4 ? ms J ± a$ (f -г') 82 где через o's(t — ґ) обозначено o's, в котором aS9 bSt cs взяты для момента t—г'. Комбинируя написанные равенства, имеем
A = 4 J1 а; (/ - г')dx' - 4 ? msv\U„ (II, 7,2)
где
v2S = а! + 6? + cf,
и, следовательно,
An — 2^ms a; (t-r')dx' + 2 YJ т$ (vi - 2І?)?/„
A22 - - 2 ?ms j la; (/ - r')dT' + 2 ms (oj - 26f)
A33 = - 2 J] f ^ а; (/ - r') dx' + 2 V ms (u? - 2c|) Ur (II, 7,3)
С целью получения в дальнейшем внешнего решения уравнений поля при к оо, преобразуем интеграл, входящий в (II, 7,2—3). Введем новые переменные Ut Vt W при помощи соотношений
х' — as(t — ґ) = и, у'-bs(t-r') = vt z' — c,(t — r') = w.
Якобиан Is этого преобразования представляет собой определитель, обратный определителю
да du dw
WWW
du du dw
WWW
du du dw
WWW . Непосредственное вычисление дает
/ , дґ das t dr> dbs ^Jcl -I
's —-Г dx> dft ^ dy' du r dz' dft j r 9
В частности, при U=V = W = O будет
/ ar.
''=I1 + *^ '
где r4 определяется соотношением
rl = [X - as (?)]2 + [y-bs (O)I2 + [2 - cs (#)]2, O = t - Гг (II, 7,4)
В результате преобразования переменных интеграл, входящий в (II, 7,2—3), принимает вид
Ш^ 0 (t7"2 + ^ + a^) 1S dudvdw
6* 83 и при переходе к пределу при X OO может быть заменен следующим
T (1 + ж)'1 Щ ° (VrW2+ O2+И ^dodo;.
Если теперь произвести новое преобразование
K = asin$cos<p, u = a sind sin ф, до =Sacosft и выполнить интегрирование по Ф, ф, то получится
OO
или, согласно определению функции ot
Таким образом, при К оо имеем для внешних точек
»^('+йГ + 'Е?«-*-
— mp / дг \—і vi
= +2^^(^-2^, (И.7,5)
— Tl тс / дг \—I Vl Wt^
^ = + Ж -2S-Tf.
где в первых членах правых частей величина rs определяется равенством (II, 7,4), тогда как во вторых членах, пренебрегая запаздыванием, длят нее можно принять прежнее значение
Л = (х- asf + (1у - bsf + (г - cs)2. (II, 7,6)
Если для величины гS сохранить это значение во всех членах, то формулы (II, 7,5) примут вид
m„ с-« dV vi т.
— и * „ Vl
Ли = -2 S^f-Sms +
ґ ,Vm' V m 9 V
hu = - 2 - 2, ж - 2
84 в чем нетрудно убедиться, разлагая в ряд выражение
-Mi +
г9т у + дь
Остается определить еще Iiij с различными индексами. Положив в (II, 7,1) / = 1, 2, 3 и / = 4, имеем
A14 - 4 У we J і а; (/ - Ґ) as (t - г') dx' (И, 7,8)
и две аналогичные формулы для A24, A34. Если произвести прежнее преобразование переменных и принять затем % ->• оо, то для внешних точек получится
Ь_4 2^(, + ?)- (Н, 7,9)
или
= 4SjTfi (II, 7,10)
где для rs принято значение (11,7,6). Мы не приводим здесь формулы для A24, A34 , которые легко написать по аналогии.
Пусть индексы /, / различны и каждый из них отличается от четырех. Положив, например, і =U / = 2, получим по (11,7,1)
Aw = — 4 tnsaj)sUs (II; 7,11)
или, после перехода к пределу при X оо,
— vi т ab
= (11,7,12)
Аналогичные выражения получаются для величин A23 и A31.
§ 8. Определение kij
Для завершения интегрирования уравнений поля нам остается найти поправки Uiii удовлетворяющие, как мы видим, системе десяти уравнений, из которых четыре приведены в §6, а остальные шесть легко могут быть написаны по аналогии.
Рассмотрим прежде всего три уравнения вида (II, 6,16), соответствующие і = 1, 2, 3, / = 4. Пользуясь значениями Iiif и принимая во внимание отсутствие величин Ли в других уравнениях, можно принять Ли = &24 = &34 = 0. Далее, положив &12 = A23 = = &31 = 0, покажем, что остальным уравнениям можно удовлетворить при помощи четырех величин кц.
85 Найденное в предыдущем параграфе решение (II, 7,2—3) позволяет переписать уравнение (II, 6,13) следующим образом
д2 д2 XA I " W4
^fe — Aj44) + ^5-(^22-M + 42j mSl-CtS-^ +
+ 6 (grad U)2 — 32яр U = — 16nSu. (И, 8,1)
Аналогичную форму принимают уравнения, соответствующие і = / = 2 и і = / = 3.
Вместо (II, 6,14), имеем теперь
д2 д2 д2 ^2 (^22 + M + (^83 + ^ll) + Jfca" + M +
+ 4 Г mS (as ^r + ^+ 4t) + 6 ^rad ^2 = 32^f7' (П* 8'2)
Уравнение (II, 6,15) приводится к следующему
?2 XA I - dU - \
5? (?., - M - 41 <". k ^1 + f, лг) -
и подобный же вид приобретают последние два уравнения, соответствующие і = 2, / = 3 и і = 3, / = 1. Нетрудно убедиться в том, что решение трех последних уравнений удовлетворяет уравнениям вида (11,8,1) и (II, 8 2).
Действительно, из (II, 8,3) имеем
^33-^44 = -4^ + 4 ^M-*Ldxdy-
- 4 S ms (as J f/sd* + Sg f ад). (И, 8,4)
Написав далее выражение для A22 —> образуем сумму
д2 д2
(^33 — A44) + ^2 (&22 — ?44)
и внесем ее в (II, 8,1). После необходимых преобразований и учета уравнений Пуассона для функций Ust U получим
S11 = S mS j °s (-?- — a.)
т. е. значение (II, 5,9), принятое нами ранее в согласии с законом сохранения тензора энергии-импульса.
Подобным же образом убеждаемся в выполнимости двух уравнений, аналогичных (II, 8,1).
86 Выразив затем A11, A22, A33 через A44, составим сумму
