Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь разложением gij'= б,,+ А,,и производя необходимые вычисления, которые мы здесь опускаем, можно показать, что с точностью до членов второго порядка компоненты тензора Риччи равны
D 1 п и . 1 Г д I 1 dh дН<Ч \ _L
+ ? з) - 4 б-г,. вg +1^7 (H-I2 *), (II, 6,1)
где Vijtk —символы Кристоффеля первого рода, A'/ = ol7o" Hiji А имеет прежнее значение, а величина H задана соотношением
H = A11 (A22 + A33 — A44) + A22 (A33 — hu) — A33A44 — — A22 — A13 — A23 + + A24 + Aj4.
Тензор Риччи должен быть определен с точностью до членов второго порядка относительно ньютонианского потенциала, причем компонентам скоростей и ускорений, как уже было сказано, следует
приписать порядки у, 1 соответственно. Поэтому, применяя (11,6,1),
мы сохраним в линейных членах обозначение Iiij- и воспользуемся значением (II, 4,4) в членах второго порядка.
При і = j = 1 непосредственное вычисление по формуле (II, 6,1) дает
Ir-If. . 1 d%h . д%1 t Л V •2д*иS Rn = у? An +Т O? + 4 Lm*a> -
Yl - dU ( дУ дЮ
-4i/^-2(gradu)« + 8nel/. 016,2)
Аналогичные выражения можно получить для /^33k Положив і = j = 4э находим выражение для последней компоненты Тензора Риччи
/йи = Y Q hu + 2 (grad + 8j1q(/- (П' 6'3)
79При различных і, /, отличающихся от четырех, получаем
1 д* V^i- дЧ/
Ru = 2"? hu + Тдх^ (A + A11 +- A22) + 2 2J т, (at + %) -
ди .. dus\ du ш .,, mj /IT - .. +bSi^j-2K (II'M)
и две аналогичные формулы для ^23, Rn-Если принять і =1, j = 4, то получится
D — 1 п и * д !dh d/t44 dhu dh2i д/г34 \ т ?
Ru - у ? A14 + Wx ^ - ^w 4 ж + + -gg-j , (II, 6,5)
Аналогичные выражения нетрудно составить для /??, #34- Инвариант тензора Риччи, вычисляемый по формуле
R = — #11 О +All)-A«U + Л22) — /?33 (1 +Азз)+#44(1-А44)»
в том же приближении равен
R=-^Oh- 2^5- (А + Au) — (А 4- A22) — (А 4" A33) —
Vi -»ОТ/. . д2(/ \
Vt.. dUe .. dUe .. dU \
В нашем распоряжении имеются теперь все величины, необходимые для составления уравнений поля в развернутой форме. Каждому из уравнений мы припишем двузначный номер, соответствующий индексам і, /.
После необходимых алгебраических преобразований, которые мы здесь не приводим, получаем уравнение 11 в виде
? [hn - 4 611 А) + (Л + 2Ац) -щ-Ah + 2A«) - ^(А+2A33) -
V1 ..дЮ, .,W . № \ vi / •• Я/. _ (- af ^f + Ь\ ^f + cl ) + 4 ? ms J - as +
.. dU . dU \ (du \2 dW
- 32яд U = — 16я (Г 4- Sflr). (II, 6,7)
По аналогии нетрудно написать уравнения 22 и 33. Уравнение 44 имеет вид
/ 1 \ ?2 д2 ? (A44 - Y6^hJ +ЩГ & + 2А") +I^r(Л + 2А22) +
де V^ / • W . ач/ . дч/ \
+ (ft + 2Азз) + 4 JJms[аї^+b^+Cl-^j-
/•• д?/с •• dUc ¦¦ dU\ - 6 (grad Uf = — 16я (Г44 + 2et/). (II, 6,8)
80Из трех уравнений с различными i, j =р 4 мы приведем уравнение 12
? (лм - 4 + _*-(A + All + hii) + 4Vms(a; + b^y-
^ I.. dU .. dU \ dU dU
-4ImHflsV 7 Ф-
-8uSy — 16я7» (11,6,9)
Остальные три уравнения, соответствующие і =?4, / = 4, аналогичны одно другому. Из них мы напишем уравнение 14
Ih 1 Л *Л Л- д Idh^ -L аЛ24 , ^34 ,
(A14--2 O14/zj + JJ1^ + — + — + ^r
+
+ -?1 - %) = ^nT14. (11,6,10)
Таким образом, поправки А/;-, определяемые с точностью до членов второго порядка относительно потенциала, удовлетворяют довольно сложной системе десяти уравнений. С целью упрощения этой системы мы представим искомые поправки в виде
hij=hu+kih (11,6,11)
где величины h?j могут содержать члены до второго порядка включительно, а кц имеют второй порядок. Из двадцати величин Iiii и kij десять могут быть заданы независимо. Имея это в виду, мы потребуем, чтобы все Kii удовлетворяли уравнениям
? jhu - у O//A) - ~ Ібябиб/уП (II, 6,12)
где, как и прежде, A = SaP Aap.
Внося (II, 6,11) в (II, 6,7—10) и принимая во внимание (II, 6,12), приходим к заключению, что поправки второго порядка должны удовлетворять уравнениям
^2 ^2 _ —
(?зз — Ы + (к2г — ku) + (А -Ь 2Лп) —
~ W2 2^22) ~ 25? (A+ 2A33) -
V/ -о . 0 дЮ .n W \ XA t .. W
+ ^ + -«/??¦+6(BradW)"-
— 32л qU = — 16я5". (11,6,13)
6 И5 81Jrfe + &зз) — ^2 (&33 + &ll) — (kU + Л») +
+ 2^- (Л + 2Лц) + ^r (A + 2М + 2^ (А + 2Азз) +
vi /. W . . ач/ \ /..ас/
+ 4 + « # + Й -а?) - 4(о.-Jt +
+ s» -?- + ^r) - 6 (Srad6O2 = - 32я^- (»' 6> 14>
Щ, <*« - k^ - + 5? (Л44 - Азз) + 4 ^ ms ( af + b!i -
.0.(11,6,15)
\Ь -l , ^24 , ^34 ^ , д dhu
+ дх[дх ~ду "Г" ~дГ; + дх ~дх + , Oh24 dh3i dh dhu dhn\ л /тт А і
Общее число этих уравнений равно десяти. Шесть из них, которые здесь не приведены, распадаются на группы по два уравнения, аналогичные уравнениям (И, 6,13, 15—16) соответственно.
§ 7. Определение величин А/,
Переходим к интегрированию уравнений (II, 6,12). Решение этих уравнений находится по методу запаздывающих потенциалов и имеет вид
ha - у6,/А = - 4M,/ Jp-1 Tii \t_dt\ (II, 7,1)
где dx' = dx'dy'dz' и интегрирование производится по всему пространству. Через (Г'Ог-г- обозначены, как и прежде, значения величин Tif в точке х', у\ z\ взятые для момента t — г'. При этом для тех из величин Tij, которые имеют первый порядок относительно потенциала, запаздыванием можно пренебречь, так как в выражении А,, учет его не изменит члены до второго порядка включительно.