Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ввести W (г12), и обменной энергии А, которая получилась
бы из (123.4), если опять-таки вместо — ввести туда W (г12).
Г12
Таким образом, всякое классическое взаимодействие W (г12) двух одинаковых частиц ведет к обменной энергии.
Обменная энергия не имеет никаких аналогов в классической механике. Открытие ее существования является одним из фундаментальных и новых результатов квантовой теории.
Название «обменная энергия» выяснится гораздо полнее, если мы рассмотрим состояния Ф, в которых распределение частиц по состояниям пит фиксировано. Для этого обратимся к временной зависимости состояний Ф^ и Ф5. Так как это —
§ 123]
ОБМЕННАЯ ЭНЕРГИЯ
543
стационарные состояния, то
ф,=—(^ + яЫ е
-±(E* + K + A)t
~±(E° + K;-A)t
(123.10)
Обозначим
(123.11)
и рассмотрим вместо Ф* и Фа состояние, являющееся их суперпозицией (это будет уже не стационарное состояние):
Согласно статистическому значению амплитуд с1 и с2 величина \с± |2 есть вероятность нахождения системы в состоянии % (т. е. первый электрон в п, а второй в т), а | с212 — вероятность того, что система находится в состоянии *ф2 (т. е. первый электрон в т, а второй в п). Имеем
отсюда взятое нами состояние Ф (123.12) таково, что при t = 0 первый электрон находится в состоянии второй в состоянии
вый электрон перейдет в состояние а второй в *ф1г — произойдет обмен состояниями. На основании (123.11) мы видим, что это время обмена можно выразить через обменную энергию. Именно, мы получаем, что
Отсюда следует важный вывод: время обмена состояниями обратно пропорционально обменной энергии.
Интересно посмотреть те условия, при которых обменная энергия столь мала, а время обмена столь велико, что обменом можно совсем пренебречь. Обменная энергия зависит от плотности Ртп (г) =ipm (г)^Л (г), следовательно, она зависит от того, насколько
Ф = “р— (Ф* + Ф а) —
= ~2 ег~ (e~ibt eibt) + *ф2 (е~1^ — е1б/)], (123.12)
или
Ф = ^1 (0 ^1 + с2 (t) г|з2,
(123.13)
где
Ci (0 =*егш<* cos 6ty с2 (t) = sin St. (123.14)
| Cl (t) |2 = cos2 6/, | c2 (t) |2 = sin2 Ы, (123.15)
i|V Спустя время t = получим |c1|2 = 0, |c2|2=l, т. e. nep-
(123.16)
544
МН0Г0ЭЛЕК.ТР01 IIIblE АТОМЫ
(ГЛ. XXI
перекрываются функции состояний ^//г и г|);1. Если = 0 там, где >/- 0, или ^ 0 там, где 4>,г = 0, то р„ш = 0 и обменная энергия вовсе отсутствует. Этот крайний случай является, однако, идеализацией. Тем не менее мы можем вывести из него важное заключение: если состояния и г|?/7 таковы, что |^/;ij2 и |я|^|2 сосредоточены в разных частях пространства, то обменная энергия мала (стремится к нулю).
Допустим теперь, что состояния суть состояния электрона в атоме, но энергии Еп и Ет предположим сильно отличающимися: Ет^>Еп. Тогда функция сосредоточена в области, очень близкой к ядру, а довольно широко распространяется от ядра. Так как обе функции нормированы к 1, то это означает, что я|?т мало там, где г);,, заметно велико. Следовательно, плотность ртп опять-таки мала. Таким образом, обменная энергия мала и обменом можно пренебречь, если идет речь либо об обмене состояниями, сосредоточенными в разных частях пространства, либо об обмене состояниями, сильно отличающимися по энергии.
Последнее обстоятельство оправдывает, например, то, что во многих случаях можно пренебречь обменом оптического электрона с электронами внутренних оболочек.
§ 124. Квантовая механика атома и периодическая система элементов Менделеева
Открытый Менделеевым периодический закон является важнейшим законом природы. Он составляет основу не только химии, но и вообще всей современной атомной и ядерной физики.
Теория этого закона далеко еще не завершена. Проблема структуры атомных ядер находится еще в зачаточном состоянии, а между тем именно ядро атома определяет полностью структуру его электронной оболочки, и вместе с тем — химические и физические свойства атома в целом. Однако если рассматривать характеристики атомных ядер как данные из опыта, то квантовая механика позволяет понять периодичность в структуре электронных оболочек атомов, исходя из теории движения системы электронов в электрическом поле ядра. Таким образом, для выяснения природы периодичности можно ограничиться расчетом движения электронов в атомах, исходя из заданной массы ядра и его заряда. Поставленная таким образом задача представляется все же еще чрезвычайно трудной математически из-за большого числа электронов в атомах. Напомним, что в классической механике даже проблема движения трех тел не получила до сих пор общего и полного решения. К счастью, в атомной механике положение лучше и многие практически важные результаты могут быть получены с помощью приближенных методов. Причиной такого упро-
§ 124J КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА АТОМА II ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 545
щспня является дискретность состояний электронов в атомах. Благодаря этому, на основе принципа Паули и теории движения электрона в поле центральной силы, удается достигнуть существенных результатов в понимании распределения электронов в атомах и вместе с тем периодичности в химических свойствах элементов.
