Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Элементарная квантовая теория излучения
Элементарная теория излучения на основе квантовых представлений была создана Эйнштейном. Она имеет до некоторой степени феноменологический характер х). Тем не менее она позволяет,
г) Предположения Эйнштейна получают полное обоснование в современной квантовой электродинамике (см., например, А. И. А х и е з е р, В. Б. Б е р е-с т е ц к и й, Квантовая электродинамика, «Наука», 1969).
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
31
опираясь на современную квантовую механику, решить вопрос об интенсивностях излучения и поглощения света.
С квантовой точки зрения интенсивность испускания или поглощения электромагнитного излучения определяется вероятностью перехода атома из одного состояния в другое. Решение вопроса об интенсивностях сводится к вычислению этих вероятностей.
Рассмотрим два состояния какой-нибудь системы, например атома. Одно обозначим буквой /и, а другое буквой п. Энергия первого состояния пусть будет Ет, а второго Еп. Для определенности предположим, что Ет> Епу так что состояние т принадлежит более высокому квантовому уровню Ету нежели состояние п, принадлежащее квантовому уровню Еп.
Опыт показывает, что система может сама собой перейти из высшего состояния т в низшее п> испуская квант света
Е ~Е
= Ет — Еп с частотой со=
имеющий, кроме того, определенную поляризацию и распространяющийся внутри телесного угла dQ (рис. 6). Любую поляризацию для заданного направления распространения света мы можем представить как сложение двух независимых поляризаций 1А и 12, перпендикулярных друг к другу. При переходе Ет -+¦ Еп может быть излучен квант света либо с поляризацией 1ь либо с поляризацией 12. Поляризацию мы будем отмечать индексом а (а = 1,2). Вероятность перехода п
? __g
в 1 сек, с излучением кванта частоты со = —- внутри телес-
ного угла dQ с поляризацией а, мы обозначим через
dW'r = anmadQ. (5.1)
Эту вероятность называют вероятностью «спонтанного» (самопроизвольного) перехода. Возможности такого перехода в классической теории соответствует излучение возбужденного осциллятора.
Если имеется излучение, окружающее атом, то оно оказывает воздействие на атом в двух отношениях. Во-первых, это излучение может поглощаться, причем атом будет переходить из низшего состояния п в высшее т. Вероятность такого перехода в 1 сек обозначим через dWa- Во-вторых, если атом находится в возбужденном состоянии т, то внешнее излучение может способствовать переходу атома в низшее состояние п так, что вероятность излучения увеличится на некоторую величину dW'r. Эту добавочную вероятность мы будем называть вероятностью индуцированного
О
Рис. 6. Характеристики излучения.
li и 12 — два независимых направления поляризации.
32
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. I
(или вынужденного) перехода. Оба типа переходов имеют аналогию в классической теории: осциллятор, находящийся под влиянием внешнего излучения, может как поглощать, так и излучать энергию в зависимости от соотношения фазы его колебаний и фазы световой волны.
Согласно сказанному полная вероятность излучения равна
dWr = dW'r + dW'r.
Вероятность поглощения dWa и вероятность вынужденного излучения dWr по предположению Эйнштейна пропорциональны числу квантов света как раз того сорта, о поглощении и излучении которых идет речь. Определим это число.
Излучение может быть, вообще говоря, не монохроматическим, иметь различное направление распространения и разную поляризацию. Для определения характера излучения мы введем величину ра (со, Q) dco dQ, дающую плотность энергии излучения, имеющего направление распространения в пределах телесного угла dQ, поляризацию а и частоту, лежащую в пределах со, со + dco. Так как энергия кванта равна Йсо, то число квантов света с частотой в пределах со, со + dco, которые распространяются в телесном угле dQ и имеют поляризацию а, равно (на 1 см3)
ра (а), Q) d(d dQ fid)
Ha основании замечания о пропорциональности между числом квантов и вероятностями поглощения и вынужденного излучения мы можем положить
d№e = Cpa(<0, Q)dQ, (5.2)
dw; = bnm*Pa (со, Q) dQ. (5.3)
Величины anma, b"nla, bnma называются дифференциальными коэффициентами Эйнштейна. Они зависят только от рода систем, излучающих и поглощающих свет, и могут быть вычислены методами квантовой механики (см. § 88). Однако можно сделать некоторые общие заключения о свойствах этих коэффициентов без их вычисления.
Рассмотрим условия, при которых осуществляется равновесие между излучением и поглощением. Пусть число атомов, находящихся в возбужденном состоянии т, есть пт, а число атомов, нахо-
дящихся в низшем состоянии, — пп. Тогда число квантов света, излучаемых в 1 сек при переходах ш-> п, будет равно
nm(dW'r + dW;),
а число поглощаемых в 1 сек квантов при переходах п-> т, будет равно
пп dWa.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
33
В условиях равновесия число актов поглощения должно равняться числу актов испускания, т. е.
nadw* = nm (dW'r + dW;).
Подставляя сюда dW'r из (5.1) и d\V„, dW"r из (5.2) и (5.3), найдем после сокращения на dQ:
