Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 Ц 6-Л, мм
Рис. 7. Распределение энергии в спектре черного излучения для различных температур.
36
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. I
ная картина справедлива в той области, где кванты велики, а число их невелико.
Действительно, число квантов в 1 см3 в рэлеевской области (Йо>! kT) в интервале частот от щ до щ ¦+ do) есть
ад
а в области Йоо2 ^ kT (виновская область) оно равно
_Г'0)0
dN2^^e'kf dw. (6.5')
Отношение dN2 к dN-^ равно dNs
dNv ~ е !гТщ
При Йю2>*Г ^<1.
dN:-e (6-6)
§ 7. Волны де Бройля. Групповая скорость
Мы не предполагаем здесь следовать историческому развитию квантовой механики и, в частности, излагать тот, сам по себе не лишенный интереса путь аналогий между механикой и оптикой, который привел де Бройля и позднее Шредингера к установлению исходных пунктов волновой (или, как теперь чаще называют, квантовой) механики. Если не касаться тех сторон первоначальной теории, которые в настоящее время имеют лишь историческое значение, то основная мысль де Бройля заключается в распространении основных законов квантовой теории света (1.1) и (1.2) на движение частиц.
Именно, со всякой свободно движущейся частицей, имеющей энергию Е и импульс р, де Бройль связывает плоскую волну
tf(r, i) = Се1{Ш~кг\ (7.1)
где г — радиус-вектор произвольной точки пространства, t — время. Частота этой волны о> и ее волновой вектор к связаны с энергией и импульсом частицы темп же уравнениями, которые справедливы и для квантов света, т. е.
E=^flti)y (7.2)
р = йк. (7.3)
Это — основные уравнения де Бройля. Мы имеем здесь делос историческим ходом идей, обратным тому, который ведет к квантовой
теории света. Для света мы имели первоначально волновую картину
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
37
и в квантовой теории дополнили ее корпускулярной, вводя представления об импульсе и энергии кванта света. Напротив, для частиц (электронов, атомов и т. п.) мы имеем в качестве исходного пункта классическое представление о движении частиц и по идее де Бройля, переходя к квантовой теории, дополняем эту классическую корпускулярную картину представлениями волновой теории, связывая с движением частицы волновой процесс с частотой (о « 2я
И ДЛИНОИ волны А — .
Подставляя в (7.1) со и к из (7.2) и (7.3), мы получим новое выражение для волны (7.1), в котором будет в явной форме установлена связь частоты и длины волны с корпускулярными величинами: энергией частицы ? и ее импульсом р
г|) (г, t) — Ce^h (7.Г)
Такую волну мы будем называть волной де Бройля. Вопрос о природе этих волн и о толковании значения их амплитуды С мы отложим до следующей главы, так как этот вопрос вовсе не является простым.
На первый взгляд может показаться, что движение волны (7.1) не может, иметь никакой связи с механическими законами движения частиц. Однако это не так. Чтобы усмотреть эту связь, обратимся к рассмотрению основных свойств волны де Бройля. Ради упрощения расчетов выберем направление оси ОХ, совпадающее с направлением распространения волны; тогда вместо (7.1) мы будем иметь
г|>(*, t) = Celw kx). (7.4)
Величина (оt — kx представляет собой фазу волны. Рассмотрим некоторую точку х, где фаза имеет определенное значение а. Координата этой точки определяется из уравнения
а = а>/ — kx,
откуда видно, что значение фазы а будет с течением времени перемещаться в пространстве со скоростью и, которую мы пблучим, дифференцируя предыдущее равенство по t:
(7.5)
Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от k, а следовательно, и от длины волны К (так как К 2я/&), то имеет место дисперсия волн. В отличие от электромагнитных волн, для волн де Бройля существует дисперсия в пустом пространстве. Этс обстоятельство вытекает из уравнений де Бройля (7.2) и (7.3). Действительно, ^лежду энергией Е и импульсом р существует определенная связь.
38
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЁОРИИ
[ГЛ. I
Именно, согласно теории относительности, при скорости частицы v ^ с (с — скорость света), т. е. в области применимости ньютоновской механики, Энергия свободно движущейся частицы равна
Е = +V щс4 р2с2 = т$г + g— + • • • , (7.6)
где т0 — масса покоя частицы1). Подставляя это значение в (7.2) и выражая р2 через k2, получим
“ = ТГ + 5?+- <7'7»
и, следовательно, и = со jk есть функция k.
Перейдем теперь к установлению связи движения волны с движением частицы. Для этого мы рассмотрим не строго монохроматическую волну (7.4), имеющую вполне определенную частоту и длину волны К = 2n/k, а почти монохроматическую волну, которую мы будем называть группой волн. Под группой волн мы будем понимать суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по длине волны и направлению распространения. Для простоты мы рассмотрим группу из волн (7.4), распространяющихся в направлении ОХ. Согласно данному определению группы волн мы можем написать для колебания *ф(х, t) следующее выражение:
ko -Ь А/?
г|) (х, t) = 5 kx>dk, (7.8)
ко-Ы*
и 2я
где Яо=т" есть волновое число, около которого лежат волновые
числа волн, образующих группу (М предполагается малым).
Разлагая частоту со как функцию k (см. фо{5*мулу (7.7)) по степеням k — 60, получим
