Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ft/ibnapa
(0), Q)^nm[b тара
(со, Q) -\- & та 1 (5-4)
(причем со = о)тп)-
Допустим, что мы имеем дело с тепловым равновесием. Тогда числа атомов в различных состояниях будут функциями температуры Т. Вместе с тем и плотность излучения р (со, Q) должна быть функцией температуры. Это будет плотность излучения, находящегося в равновесии с веществом при температуре Т, т. е. плотность черного излучения.
Свойства черного излучения, как известно, не зависят от конкретных свойств вещества, с которым оно находится в равновесии. Поэтому все выводы, которые будут сделаны на пути исследования черного излучения, имеют общее значение. Именно этим обстоятельством и воспользовался Эйнштейн, чтобы установить соотношения между коэффициентами а",а, Ь'та в общем виде.
Соотношение между числами атомов, находящихся в различных состояниях, мы можем определить с помощью статистики. Обычно (см., например, § 51) какому-нибудь квантовому уровню Еп отвечает несколько различных состояний квантовой системы. Число таких состояний fn называют статистическим весом или степенью вырождения.
Согласно каноническому распределению, справедливому как для классических, так и для квантовых систем, число атомов Nn, находящихся в состояниях с энергией Епу будет равно
Nn = const -fne kt, (5.5)
где k — постоянная Больцмана. Если нас интересует число атомов, находящихся в каком-либо одном из состояний, принадлежащих энергии Еп, то на основании того же распределения будем иметь
N
пп = -г-- = const • в кТ . (5.5')
In
Подставляя пп и пт из (5.5') в (5.4) и сокращая на общую постоянную, получим
_?m
е *rCpc.(co, Q, Т)=е *r[C*P«K Q, T)+anma], (5.6)
причем мы ввели в р в качестве аргумента еще и температуру,
так как при тепловом равновесии, как уже указывалось, плотность
34
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. I
равновесного излучения зависит от температуры. При Т ~>оо плотность излучения должна неограниченно возрастать, т. е. р -> оо. Из (5.6) при Т -> оо получаем первое важное соотношение:
С = (5.7)
На основании этого соотношения, замечая еще, что Ет — Еп = = Йсо, мы получаем из (5.6)
ра(со, Q, Т) = —. (5.8)
maekf^\
ап
Чтобы определить отношение -~t Эйнштейн остроумно восполь-
^та
зовался тем обстоятельством, что при высоких температурах, т. е. при kT ;> Йсо, полученная квантовая формула (5.8) для плотности равновесного излучения должна переходить в классическую формулу Рэлея — Джинса. В саМом деле, классическая формула для плотности равновесного излучения выводится в предположении,
что излучение частоты со может иметь сколь угодно малую энергию.
По квантовой же теории наименьшая энергия такого излучения
есть Йсо. Если kT Йсо, то величину Йсо сможно считать малой,
и тогда основная предпосылка классической теории будет ВЫПОЛНЮ ^
нена. Из (5.8) при разлагая в ряд екТ, получаем
a" kT
Ра К G, Г) = 7*%-. (5.9)
Ьта Ы
С другой стороны, классическая формула Рэйея — Джинса дает для плотности равновесного излучения следующее выражение:
ра(0), Q, T) = ^kT. (5.10)
Как мы пояснили, для kT ha> обе формулы (5.8) и (5.10) должны совпадать. Поэтому, сравнивая (5.9) с (5.10), находим
^ = у^Ет-Еп. (5.11)
bnma 8л^_
Эта важная формула позволяет вычислить один коэффициент по другому, так как полученное отношение не зависит от рода вещества (как это и должно быть), а зависит только от частоты излучения.
Вставляя найденное отношение в (5.8), получаем окончательную формулу для плотности равновесного излучения:
Р«(“. ^ л • <5-12)
екг-1
ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
35
§ 6. Черное излучение
Интегрируя ра(со, Q, Т) по полному телесному углу (Q = 4я) и суммируя по обеим поляризациям (ос = 1,2), мы получим плотность излучения р (со, 7), приходящуюся на интервал частоты со, со + dco, независимо от направления распространения и поляризации.
Согласно (5.12) равновесное излучение изотропно, т. е. не зависит от направления распространения, и одинаково для обеих поляризаций. Поэтому мы получаем
Р (со, Т) = 8яра (со, Q, 71), (6.1)
т. е. плотность равновесного излучения частоты со при температуре Т равна
РК = (6.2)
±Т
-1
Эта формула дает спектральное распределение энергии черного излучения и впервые была установ- q, jn
лена Планком. На рис. 7 приведены ' '
графики этого распределения для разных температур Т. В области йсо <^kT закон Планка совпадает с клас- #/7 сическим законом Рэлея — Джинса, который для р (со, Т) имеет вид
Ркл К Т) --
¦ — kT
л2с? 1 •
(6.3)
В области больших квантов
имея в виду, что (6.2) получаем
ВО
из
/ гг\ Й0)3 о*"
р(®. т) = Ж*е
kT
(6.4)
40
I / Х\\*ч
//аяЛ»,
/1100° чооо•
Формула Рэлея—Джинса выводится из рассмотрения света как непрерывных волн. Формула (6.4) может быть получена, если свет рассматривать как газ, состоящий из частиц с энергией, равной е = Йсо. Первая картина есть волновая картина света, вторая — корпускулярная картина. Обе картины являются недостаточными: формула Планка не соответствует ни той, ни другой.
Легко видеть, что волновая картина применима в той области, где кванты света малы, а число их велико; напротив, корпускуляр-
