Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если предположить, что различные матричные элементы в (2.60), а также другие множители не зависят от k', j', k", j", то суммирование по этим индексам дает двухфононную плотность состояний
Е ? б (со (k' | j') + to (k" | j") — to) = p2 (w (k' [ j') + to (k" | j")). (2.61)
fe'/' Ь'Ч"
Многофононные процессы. Обобщение на случай много-фононных процессов произвольного порядка выполняется
(2.55)
или ?><Г)(0).
(2.56)
Но это требование совпадает с условиями
(*7/*"ПЬ)=^0;
(2.57)
(2.58)
и
эффициента
а (2.58) соответствует обычным
Хв[((о(Л'1Л + и(*',1Л)-<о]вя.п+1ву1пЧ,, (2.60)
20
Г лава 1
очевидным образом. В общем случае каждому члену определенного порядка в разложении (2.47) соответствует многофононный процесс того же порядка. Равенство или неравенство нулю вероятности процесса данного порядка целиком определяется соответствующим коэффициентом приведения. Мы проиллюстрируем это утверждение ниже на примере конкретных кристаллов со структурой алмаза и каменной соли.
В последние годы большое внимание уделялось теории суммарных полос инфракрасного поглощения для многофононных процессов высокого порядка, когда число возникающих фононов доходит до п— 10. Экспериментальные исследования такого поглощения показывают, что при увеличении частоты поглощаемого света коэффициент поглощения меняется с частотой экспоненциально: р ~ ехр (—Лео). В первых теоретических объяснениях этого эффекта использовалось предположение о существовании некоторой отличной от нуля функции, описывающей взаимодействие. Затем методом функций Грина рассчитывался коэффициент поглощения [13, 14]. Анализ свойств симметрии операторов и-фононного взаимодействия с помощью обобщения условий (2.57), (2.58) на коэффициенты ряда Клебша — Гор-дана, т. е. на коэффициенты приведения для n-фононных процессов, во время написания книги проведен не был.
§ 3. Комбинационное рассеяние света фононами.
Обобщенная теория Плачека
Для построения удобной для последующего рассмотрения теории комбинационного рассеяния света фононами мы выполним квантование поля излучения. Таким образом, мы будем рассматривать характеризующие поле величины как динамические переменные, а не как величины, заданные извне (что принималось при полуклассическом рассмотрении инфракрасного поглощения в предыдущем параграфе). Это усложняет теорию. В действительности можно выполнить и полуклассическое рассмотрение комбинационного рассеяния света фононами. Основной величиной в такой теории оказывается недиагональный электрический момент перехода, математическая структура которого проста, но физический смысл которого понять непросто. По этой причине мы предпочитаем воспользоваться «обобщенным подходом Плачека» :), в котором оператор момента, приводящий к недиагональным переходам, выводится из основных принципов.
’) В этом параграфе излагается общий метод, впервые предложенный Пла-чеком [17, 18].
Взаимодействие излучения с веществом
21
План рассмотрения во многом подобен плану предыдущего параграфа. Выделяется часть гамильтониана, рассматриваемая как возмущение (взаимодействие поля излучения с электронами и ионами), а затем используется теория возмущений для вычисления соответствующей вероятности перехода. В обобщенной теории Плачека процессы рассеяния рассматриваются во втором порядке теории возмущений.
а. Гамильтониан. Как и в предыдущем параграфе, будем считать, что поле излучения определено заданием переменных поля во всех точках пространства. Этими переменными являются три компоненты векторного потенциала А (г) , а также скалярный потенциал электромагнитного поля ср(г), который мы полагаем равным нулю: ф(г) = 0. Рассматривая компоненты А{г) как «координаты» поля, запишем плотность лагранжиана электромагнитного поля в виде
(3.1)
Тогда импульс М, сопряженный с А, определяется как
»* 1 дА /0
М== Ж=-4^Ж' <3-2)
а плотность гамильтониана поля равна
= 2пс2М2 + (V X А)2, (3.3)
что с учетом (3.2) согласуется с обычным выражением для
плотности энергии электромагнитного поля:
^ = -йГ(За + ^2)- (3-4)
В качестве базисного набора функций при рассмотрении А выберем, как и прежде, нормированные векторные плоские волны
V~\k ехРik • г за икХ (г) (3.5)
с волновым вектором k и поляризацией Х. Запишем А и М в виде рядов
А (г, t) = Z \qkX (() иь% (г) + qk% (0 (г)], (3.6)
«Л
M(r,t) = 'Z \rnk% (t) ukX (r) + rnkX (0 ukX (r)]. (3.7)
kh
Каноническими переменными являются qk% и mkX\ мы наложим на них условие квантования, задавая коммутационные соотношения при совпадающих временах:
[Яп (0, mi'v (0] = [Ы (0, >пк.К, (0] = *'Ав* Av (3-8)
22
Глава 1
Полный гамильтониан равен интегралу от (3.3) по всему пространству:
Я?*=${2 лс2М2 + -^(УХА)2}^. (3.9)
Подставляя теперь (3.6), (3.7) в (3.9), получаем
^ = + (ЗЛ0) НК
Как известно, это выражение представляет собой гамильтониан системы невзаимодействующих гармонических осцилляторов [19]. Гамильтониан (3.10) можно рассматривать в представлении Шредингера, так же как мы рассматривали гамильтониаи электрон-ионной системы, т. е. заменяя импульс/л^ —*¦ (h/i)d/dqkX; однако нам это не потребуется. Поскольку гамильтониан излучения имеет вид (3.10), невозмущенная волновая функция поля излучения равна произведению волновых функций гармонических осцилляторов:
