Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
m(l) I , I можно считать эффективным зарядом в точке
\ X X /
*(1)сум
ма всех таких зарядов, помноженная на смещение,
дает полный дипольный момент в точке Таким обра-
, ( 1 1' Л
зом, I , I определяет матрицу эффективного заряда ре-
\ X X /
шетки. Очевидно, симметрия пространственной группы © накладывает ограничения на число независимых величин в матрице эффективного заряда аналогично тому, как это имеет место для числа независимых силовых постоянных в задаче динамики решетки [см. формулы (т. 1, 109.38) — (т. 1, 109.43)].
, (1 1' 1" \
Следующий член в (2.46) содержит величину т^2) I , „ I,
\ X X УС J
которую можно рассматривать как матрицу «индуцированного» заряда. Аналогичное замечание об ограничениях, налагаемых симметрией, справедливо и для этой матрицы.
Подставляя (2.45) или (т. 1, 80.9) в (2.46), а затем в (2.33), получим разложение Jt (R, к) в ряд по степеням нормальных координат:
к' \ Г к'
' +
к' k"\ fk'\ Г к"
Ж{П, к) = (Я, *) + ? )¦
+ 21>в,(‘|* г М‘Мг)+ •••¦ (247)
Взаимодействие излучения с веществом
17
Можно выписать явные выражения для коэффициентов в разложении (2.47) через коэффициенты в (2.46). Например,
Далее,-используя (2.47), можно сразу же сделать некоторые выводы, следующие из соображений симметрии. Так, каждый член разложения (2.47) должен преобразовываться так же, как Ж. С другой стороны, считая, что волновой вектор излучения конечен k Ф 0, заключаем, что каждый член должен преобразовываться с преобразованием волнового вектора k. Тогда
если выполняется (2.49). Очевидно, требование k' — k просто выражает закон сохранения импульса. Рассмотрим теперь результат подстановки линейного члена в (2.43):
Здесь мы положим v = 0, что означает задание некоторого определенного электронного состояния. Но матричный элемент в (2.51) отличен от нуля только в том случае, когда волновая функция |%оя> отличается от функции |хоп> тем, что осциллятор
Q возбужден на ближайший уровень. И в этом случае
применима теорема Вигнера — Экарта: чтобы матричный элемент (2.51) был отличен от нуля, прямое произведение ?)(гг)®0(й) должно содержать в себе которое в свою .очередь должно
совпадать с D('k){v). Этот вывод относится к однофононным процессам. Для простоты мы рассматриваем только процесс поглощения фотона, хотя тот же анализ применим и к случаю испускания фотона. Теперь нетрудно определить величину (2.51),
1 Ыа /V у *
для слагаемого (2.47), линейного
имеем
(2.49)
Другими словами,
(2.50)
18
Глава 1
используя выражение для значения матричного элемента коор* динаты осциллятора [3]. Имеем
( * | * ) fe(FT«Г ("+тГ <2-62>
где п обычно равно нулю (кристалл вначале находится в основном колебательном состоянии).
Из (2.52) и (2.53) можно получить коэффициент инфракрасного поглощения, сопровождающегося появлением одного фо-нона. Для падающего извне излучения с частотой в интервале от со до со -f- da эта величина пропорциональна выражению
/ I k' \ I2
Sf И da ~ ? {'2^{к+\пТ 6й- п+хА^] ( * I г ) I 6 ((о - (о (к' | Л).
(2.53)
ь'Г
Входящая в (2.53) дельта-функция выражает закон сохранения энергии. Соответственно спектр поглощения содержит острый пик на частоте падающего излучения to, равной частоте такого фонона co(fc|/), симметрия которого соответствует отличному от
нуля коэффициенту M(V) ^ k\., J. «Инфракрасно-активными» называют фононы с симметрией DM. В пределе длинных волн (к = 0) для кубического кристалла симметрия фонона должна совпадать с Z)(r)(I5-) ~ D(v). В реальном кристалле спектр поглощения не имеет вида дельта-функции, а оказывается линией конечной ширины. Уширение линии связано с конечным временем жизни фононов, обусловленным ангармоническим взаимодействием оптического фонона с другими фононами и т. п. Ангармонические эффекты обычно рассматриваются методами теории многих частиц [4—11]; краткий обзор ангармонических эффектов дается в § 6, б.
Двухфононные процессы. Следующими по важности являются двухфононные процессы. Такие процессы возникают из квадратичных членов в (2.47), содержащих произведения вида (k'\ (k”\
/’ Матричный элемент, аналогичный (2.51), имеет
вид
А)(я0{п}|^ /" /") I
(*!?)•
где {я} и {п}—соответствующие наборы квантовых чисел для колебательных состояний. Рассматриваемый матричный эле-
Взаимодействие излучения с веществом
19
мент отличен от нуля, и соответствующий ему процесс инфракрасного поглощения разрешен, если
Последнее произведение в свою очередь должно содержать
Неравенство (2.57) определяет условие отличия от нуля ко-
ограничениям на колебательные состояния, между которыми могут происходить переходы, следующим из теоремы Вигнера — Экарта. Если условия (2.57) и (2.58) выполнены, матричный элемент (2.54) пропорционален величине
где Со2) — константа, зависящая от того, какие именно осцилляторы переходят на возбужденные уровни. Таким образом, полная вероятность поглощения с появлением двух фононов равна
если выполняются условия (2.57) и (2.58). Как и в предыдущем случае, спектр поглощения (2.60) будет уширен за счет ангармонических эффектов, а также за счет взаимодействия в конечном состоянии (конечности времени жизни). Эти многочастичные эффекты рассмотрены в работах [4, 5, 10, 11], а также в § 6, б.
