Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ч/<адиабат) = ф(Г) R)%{R)_
(2.13)
? = ф(о> + ?(2),
(2.14)
?<(г> *) = <pv(r, R)Xy«(R)
(2.15)
10
Глава 1
где v — электронное, а \п—ядерное квантовые числа. Для конечного состояния запишем
Разумеется, собственные значения и собственные функции ядер-ной системы зависят от квантового числа, характеризующего электронное состояние. Энергию состояний (2.15) и (2.16) будем обозначать Ei = Evn и Ef = Evn соответственно.
Используя, как обычно, первое приближение теории возмущений, зависящих от времени [1], вероятность перехода из состояния в состояние Ч-/ под влиянием возмущения (2.12) можно записать в виде
Прежде чем продолжить обычный анализ этого выражения, отметим, что два слагаемых, входящих в матричный элемент в (2.17), имеют, согласно адиабатическому приближению, разный порядок величины. Другими словами, оператор в матричном элементе (2.17) можно переписать в виде
Так как параметр малости в адиабатической теории равен {т/М) = х4, то, используя (т. 1, 113.6) для определения приведенных смещений иа:
Поэтому, если применимо обычное рассмотрение, согласно которому член
можно рассматривать в первом приближении теории возмущений для невозмущенного электронного уравнения Шредингера, то слагаемое, пропорциональное импульсу иона
Wf(r, /?) = Ф_(г, R)%m(R).
(2.16)
/ О
X б (Ef - Et - Йю). (2.17)
(1) <218)
а
(2.19)
получаем для (2.18)
а
(2.21)
(2.22)
Взаимодействие излучения с веществом
11
должно рассматриваться в более высоких порядках теории возмущений, так как оно в x3Z раз меньше, чем предыдущий член (2.21). По-видимому, наиболее последовательным было бы рассматривать в первом приближении теории возмущений наибольшее слагаемое (2.21) и вычислять поправки более высокого порядка с учетом меньшего слагаемого (2.22). Ко времени написания этой книги данная задача, по-видимому, не рассматривалась таким способом.
в. Анализ матричного элемента перехода для инфракрасного решеточного поглощения. При рассмотрении инфракрасного поглощения решеткой нас интересуют реальный процесс поглощения фотона и соответствующее ему изменение состояния решеточных осцилляторов. При поглощении рождаются один или несколько фононов; «порядком» процесса называется число создаваемых таким образом фононов. Предполагается, что электронное состояние системы при переходе не изменяется. Соответственно мы будем считать, что индекс v электронной части волновых функций Wi и Wf одинаков:
<Pv(r, Д) = Ф,(г, Я)-
Для вычисления сечения инфракрасного поглощения колебаниями решетки мы рассмотрим весь член (2.20) как одно возмущение. Таким образом, мы вычислим величину (2.17), используя адиабатические волновые функции состояний (2.15) и (2.16). Будем обозначать переменные, по которым выполняется интегрирование, индексом у матричного произведения, т. е. введем обозначение , . а
(иШЛ- (2-23а)
(2-23б)
подразумевающее интегрирование по всем координатам электронов {г} или по всем координатам ионов {*>¦ Имеем
w11 (т) О- - Т '¦¦) I ч'<> -
X
= ? (I) (ф, (г, Я) <*>| i Р„ - ¦
а
X <Pv (г 1R) (Ю) ¦ ¦= Z (1) eik'*aAo{Ъп (*) I (<Pv (г, *)| X
’ а
X ЙРа ~ Ра) I 9v (Г, Щ>, I Xv« (*)>*• (2.24)
12
Глава 1
В последнем выражении показана последовательность интегрирования по г и R. Поскольку оператор импульса электрона ра можно записать в виде
В (2.28) входит оператор дипольного момента равный
Очевидно, если рассматривать га и Ra как смещения от некоторых исходных невозмущенных положений г(а°'= R(°\ то (2.29) можно интерпретировать как оператор дипольного момента электрон-ионной пары в ячейке а.
Таким образом, в выражение (2.24) входит матричный элемент оператора duJdt, вычисленный на волновых функциях адиабатических состояний. Это выражение можно упростить, используя уравнение движения Гейзенберга
В (2.30) Ж — полный гамильтониан системы. Вычислим матричные элементы операторов в (2.30), используя в качестве базиса адиабатические функции и предполагая аналогично (т. 1, 113.39) — (т. 1, 113.43), что адиабатические собственные функции являются точными, т. е.
аналогичное предположение сделаем для возбужденного состояния. Тогда для интересующего нас матричного элемента получим
(2.25)
а оператор импульса иона Ра — в виде
(2.26)
то, следовательно,
т Ра М Ра dt (вГа Ze^a)
(2.27)
(2.28)
?!а = ега — eZRa.
(2.29)
(2.30)
Ф-уХ-ул) ^vn. 1 Фл/Хуп)»
(2.31)
Взаимодействие излучения с веществом
13
Введем теперь диагональный оператор электрического дипольного момента «с фазовыми множителями»:
Ж1 (R,k)^Ze а \cpv (г, R) | Ма (г, R) I чч, (Г, *)>,. (2.33)
а
Такой оператор возникает при подстановке (2.32) в (2.24). Эта величина представляет собой сумму средних значений отдельных «ячеечных» дипольных моментов в электронном состоянии cpv, взятых с соответствующими фазовыми множителями. Кроме того, она зависит от волнового вектора излучения k и является функцией совокупности всех координат ядер. По-видимому, полезно отметить, что Jiy(R,k) зависит от координат ядер как явно в соответствии с определением из (2.29), так и неявно через зависимость от R электронных волновых функций <pv(r,tf). В связи с последним замечанием обратимся к рассмотрению в т. 1, § 113, в частности к равенству (т. 1, 113.9). Ясно, что именно «деформируемость» электронных волновых функций приводит к физически важной зависимости Ж1 (R, k) от R. Возвращаясь к (2.24), видим, что величину, определяющую вероятность переходов г —> /, можно записать в виде
