Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ч'„ = П1(»,(!,)) (3.11)
в полной аналогии с выражением (т. 1, 115.1) для случая осцилляторов решетки. Так же, как в (т. 1, 116.1), где волновая функция фононов (излучения) записана в «jV-представлении», эквивалентным образом можно задать волновую функцию фотонов излучения числом квантов N в возбужденном состоянии осциллятора ft, т. е.
| ^изл) = | (ЗЛ2)
Таким образом, собственные функции гамильтониана свободного поля излучения можно взять в виде (3.12).
Гамильтониан системы взаимодействующих электронов и ионов рассмотрен в т. 1, § 113. Будем считать, что для системы электронов и ионов, т . е. для части гамильтониана, описывающей вещество, применимо адиабатическое приближение. Соответственно гамильтониан системы, образованной веществом
(ионами и электронами) и полем излучения, представляет собой сумму двух слагаемых. В этом приближении волновая функция имеет вид произведения:
?=1 ^адиабат) I ^изл)- (3.13)
Теперь нам следует выразить величину (2.8), описывающую взаимодействие, через переменные, определяющее электромаг-
Взаимодействие излучения с веществом
23
нитное поле. Подставляя (3.6) в (2.8), получаем
- ? Ш (<7*я (0 “их (г) * Pi + я'ыРьх (г) • pt) +
ik\
+ Z (ж) W (/?) • + ^ {t) (/?) • Ра)' (3-14>
а* А,
Таким образом, полный гамильтониан системы представляет собой сумму вида
Ж = Жтл + ТЕ + Т] + U + <%>', (3.15)
где возмущение записано в виде отдельного слагаемого.
б. Вероятность переходов при рассеянии. Для анализа спонтанного комбинационного рассеяния света следует рассмотреть переходы, вызываемые возмущением (3.14), между начальным состоянием, содержащим п\ падающих фотонов и не содержащим фононов, и конечным состоянием, в котором уничтожен один фотон ИЗ СОСТОЯНИЯ k\, рожден фотон в состоянии &2 и имеются фононы.
В соответствии с предыдущим обсуждением волновую функцию начального состояния запишем в виде
Vi = I ^адиабат); I ^изл)ь (3.16)
или
= % (гЯ) (Я) I rtv «v • •., пч ...). (3.17)
Использование в (3.17) различной формы записи для волновых функций не должно вызывать недоразумений. Волновую функцию конечного состояния запишем в виде
1Ff = q>v(r*)XvS(*)|('**1-l), («*2 + !)>•••. %>¦¦•)¦ (3.18)
Отметим, что взаимодействие (3.14) в первом порядке теории возмущений не вызывает переходов между состояниями и 4V Действительно, вследствие линейной зависимости оператора Ж от ^взаимодействие Ж' вызывает переходы, в которых меняется состояние только одного фотона, т. е. оператор qkK имеет отличный от нуля матричный элемент только для переходов между состояниями типа | ... tik% .. .^ и [ ... (tik% ± ± 1) .. . у Чтобы вычислить вероятность перехода при рассеянии света, являющегося двухфотонным процессом, необходимо использовать второй порядок теории возмущений. При этом следует рассмотреть матричные элементы оператора Ж' для
24
Глава I
перехода из начального (3.17) в промежуточное состояние, например в состояние
Чм = % (г К) (R) | (nki - 1).пЛг, Пк{, ...), (3.19)
а затем матричный элемент перехода из в
Полная вероятность перехода в единицу времени определяется стандартной формулой
Г
Е,—Е
м
или эквивалентной формулой
“W
Е
Е; — Е
м
6 (Ef-Et) (3.20а)
р (Ef), (3.206)
(3.21)
где р (Е;)—плотность конечных состояний, удовлетворяющих закону сохранения энергии.
Типичное слагаемое, входящее в амплитуду рассеяния, имеет
вид
I Е~ЕМ
или, если использовать (3.14) — (3.19), чтобы упростить явный вид числителя в (3.21),
ЕЕЕЕЕ(--- к+!) •••
\im kK k’W ii' aa'
Х{—^-Р/ + ЖРа}|<Ри^т K-J))X
X(...nk2... (n4| - 1) ... Ф|Лш, | WW X
X{-iPr + WPa'}l^VR •••'»*,¦¦•)• ^3-22)
Вследствие сделанных предположений волновые функции начального и конечного состояний фиксированы; это приводит к ограничениям, налагаемым на значения qhK и qk,h в сумме. Матричный элемент координаты qk% «осциллятора поля излучения» равен [3, 19]
/ , ,ч . \ f(nkK+l)2nbci\!t /о оо\
{. •. (пьх + 1) • • • \qkK | ... nb% .. •) ^ J » (3.23)
где — энергия кванта осциллятора номера kK (т. е. осциллятора, нормальная координата которого есть qk%y, второй
Взаимодействие излучения с веществом
25
нужный нам матричный элемент равен
I, к ( ПьпДлЬс2 \Чг
. (3.24)
Таким образом, опуская в (3.22) суммирование по kh и k'K' и считая, что индексы поляризации Л и Л' фиксированы, получаем
III (•"'ffffi*)* <2-!> <*д-1 ¦¦« {¦- ^^} х
uv И' аа'
х I <FW) <ФЛОТ | U„.v {~-?р? + ~Ра}\<PvXv„>- (3-25)
Рассматривая выражение (3.25), мы вновь сделаем два предположения, которые использовались выше при рассмотрении процессов инфракрасного поглощения. Во-первых, мы сделаем предположение, эффективно позволяющее заменить индекс электронного состояния на индекс иона, вблизи которого локализовано состояние. Итак, мы заменяем pi-+Pa и, следовательно,
и«(г/) = еие“*-г> —еив'^-Ч
им (гi) = г2Ке ‘ г'г->г2Ке
2 "¦а
где егх—вещественный вектор поляризации; остальные обозначения такие же, как в § 2. Таким образом, (3.25) становится величиной, содержащей фазовые множители:
I risr-r <2“г) “р ‘ <- *»•*.+*'• *.-) х
аа'
X (XVn | («Pv I е1Я { — (тле-) “Ь ( Мс ) ^а' } ^ I Хцт)^ X
