Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
г. Симметрия матричного элемента в случае комбинационного рассеяния света. В (2.34) — (2.39) мы проанализировали симметрию оператора, определяющего коэффициент инфракрасного дипольного поглощения. Сравнивая определения (2.32) и (3.30), заметим, что основное отличие заключается в том, что комбинационное рассеяние света определяется «недиагональным» матричным элементом.
Оператор P(R,—k2,ki) преобразуется как прямое произведение блоховской функции с волновым вектором —k2 на бло-
Взаимодействие излучения с веществом
29
ховскую функцию с волновым вектором k\. Поэтому при преобразованиях, соответствующих трансляционной симметрии,
P(R, -k2, ft,) — ?»<*¦-**>. (3.46)
Это совпадает с правилом преобразования для произведения двух блоховских функций. Как и в случае инфракрасного поглощения, часто принимают, что fti = k2 — 0 (приближение бесконечных длин волн), однако строгим является соотношение (3.46).
Продолжая анализ в последовательности, аналогичной последовательности соотношений (2.34) —(2.37) предыдущего параграфа, получим для компонент тензора
Рм (Я) = е2Х 'Р (Я, — k2, ft,) ¦ e,v (3.47)
следующее правило преобразования:
Ри.'(Я)^Р'м..(Я) =
= ? ? D& «ф})^ ({Ф}К'Л' (Ы~1 (Я, - К ft,)). (3.48)
а а'
Таким образом, из соотношений (3.46), (3.48) следует, что величина Рп> (R, — k2, ft,) преобразуется как тензор второго ранга, зависящий от волнового вектора (ft,— k2). Как и в случае оператора Ж*, определяющего коэффициент инфракрасного поглощения, это утверждение содержит некоторую неточность: в действительности оператор P(R) преобразуется при поворотах как тензор второго ранга только в том случае, если положить
k2 = ft, = 0. Если k2 — k\ Ф 0, то для получения правил преоб-
разования этого оператора при конечных значениях волновых векторов необходимо воспользоваться общей техникой теории пространственных групп. Такая неточность является довольно распространенной. Обычно точная зависимость от волнового вектора учитывается в той мере, в какой это необходимо для получения закона сохранения кинематического импульса, а затем оператор P(R) рассматривается как величина, в которой волновой вектор положен равным нулю. Тогда из (3.48), а также из (3.31) можно видеть, что при поворотах оператор P(R) преобразуется как симметричный тензор второго ранга
Ри.'(Я) = Рм(Я),
так что
P(R)~[DW]2, (3.49)
где координаты ионов преобразуются согласно (2.34):
(R)^(R') = {q>}R.
(3.50)
30
Глава 1
Таким образом, в обычном случае вдали от резонанса оператор поляризуемости P(R) преобразуется как симметризованный квадрат представления, по которому преобразуется полярный вектор.
Свойства (3.48) и (3.49) существенным образом проявляются в правилах отбора для комбинационного рассеяния света. Как было показано в (3.45), вероятность комбинационного рассеяния света на колебаниях решетки с переходом из состояния |Хо„)в состояние |%0Й) определяется величиной
*.„>„• (3-si)
Стандартное применение теоремы Вигнера — Экарта для вычисления тензора показывает, что матричный элемент (3.45) отличен от нуля только в том случае, когда
?)<«)* ?)(*.-**) <«) ~ (3.52)
~[D<”>]( 2). (3.53)
Таким образом, должен выполняться закон сохранения полного импульса (3.46); кроме, того, должны быть учтены остальные ограничения, следующие из (3.49). Если ft2— волновой вектор рассеянного фотона, ftj — волновой вектор падающего фотона, а т! — волновой вектор, соответствующий изменению колебательного состояния решетки, то
й2 — й, = т]. (3.54)
В большинстве приложений теории симметрии к процессам рассеяния эффекты, связанные с конечным значением волнового вектора света, не принимаются во внимание. При этом условие отличия от нуля матричного элемента (3.45) состоит в том, что представление, по которому преобразуется произведение волновых функций начального и конечного состояний, должно содержать представление, по которому преобразуется симметричный тензор второго ранга (3.53). Отметим еще раз, что строгое рассмотрение с учетом конечной величины волнового вектора требует применения группы симметрии ®(т]), однако в настоящей книге такое рассмотрение не проводится.
д. Однофононные и многофононные процессы. В полной ана-логии с формулами (2.44) — (2.60) можно развить теорию одно-и многофононного рассеяния. Оператор P(R,k\ — fe2) можно разложить вблизи положений равновесия ионов /?°. Далее можно рассуждать так же, как при рассмотрении (2.46) или (2.47). Разложение в конфигурационном пространстве сводится к разложению недиагональных матричных элементов оператора
Взаимодействие излучения с веществом
31
(3.30). Возвращаясь снова к обычным обозначениям
( 1\
-*•/?! I, имеем
(<pv IИ ( х ) | Фд) = MZ ( х ) + ,?•*$. “ ( ) “e ( X ) + •' • * (З -55)
Если теперь подставить (3.55) в (3.30), затем сделать аналогичную подстановку в выражение для MV (R, k{) и подставить далее оба полученных выражения в (3.43), то мы получим разложение вида
рда-р. + Ей.Г'W')+ (3.56)
где, например,
""-ZZE о"'"(”}"'м (i)ew w •< (1) 4* (5).
м. IV. IV
(3.57)
Выражения для коэффициентов более высокого порядка имеют более сложную алгебраическую структуру. Более удобным для непосредственного использования является разложение в форме, аналогичной (2.47). Оно имеет вид
