Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Л<^(*)К(*> ft)|Xv.(*)}*. (2-34)
При использовании теории групп в задаче об инфракрасном решеточном поглощении света в кристаллах наиболее важным является анализ матричного элемента (2.34) для каждого конкретного случая.
г. Симметрия матричного элемента, определяющего инфракрасное поглощение. Выясним прежде всего трансформационные свойства величины (R, к). Пусть {ф} — унитарное преобразование, входящее в пространственную группу ®. Преобразование {ф} определяет внутренний автоморфизм на совокупности всех положений ионов в кристалле. В символическом виде, если (*) представляет собой совокупность положений ионов (т. е. набор Ra), то при преобразовании {<р}
(Я)-*(*') = (Ф)*. (2.35)
Электронные функции преобразуются следующим образом:
cpv (г, R) ф' (г, R) = cpv (г, {<р}-1 R). (2.36)
В общем случае электронные волновые функции <pv удовлетворяют также условиям леммы о существенном вырождении, так что (2.36) можно выразить через соответствующие линейные комбинации, включающие других представителей набора
14
Глава 1
вырожденных состояний, к которому принадлежит tpv. Для этого следует использовать неприводимые матрицы соответствующего представления. Здесь это обстоятельство нам не потребуется, так что мы будем рассматривать (2.36) в уже имеющемся виде. Дипольный момент отдельной ячейки преобразуется как обычный полярный вектор. Так, пусть (ца); — l-я декартова компонента момента ца- Тогда непосредственно из (2.29) получаем, что преобразование {<р} дает
(ц„),(г, *)-«),(Г, R)-?DM({q.})m,(!*„)>, for'*), (2.37)
где D(tl) — матрица представления, по которому преобразуется полярный вектор. Здесь нам достаточно использовать символические обозначения для преобразований, однако их точное определение дано в (т. 1, 104.8) — (т. 1, 104.12). Ниже, там, где это необходимо, мы будем использовать и явный вид преобразования.
Используя затем свойства (2.35) — (2.37), а также определение оператора Ж1 (R, k) (2.33), получим, что при преобразовании {ф}
Ж] (R, k) -> JC? (R, к) = ? Dw ({Ф})т, Ml ({фГ1 R, к). (2.38)
т
Это существенный результат: оператор JC преобразуется как оператор векторного поля (поля тензора первого ранга). В сокращенном виде
Ж ~ Dw ~ D(r). (2.39)
Заметим, что равенство или неравенство нулю величины (2.33) определяется рассмотрением симметрии электронных волновых функций <pv, описывающих многоэлектронные состояния, а также соответствующего коэффициента приведения.
Перед тем как перейти к дальнейшему, поясним этот результат. Из определения (2.33) следует, что величина Ж1 (R, k) преобразуется как блоховская сумма локализованных функций (с центрами в Ra) с волновым вектором k, равным волновому вектору излучения. Несмотря на формальную трудность перехода к пределу k = 0, часто при анализе процессов перехода поступают именно таким образом. Мы будем иметь в виду зависимость от k при построении правил отбора: как и следует ожидать, эта зависимость оказывается крайне существенной при рассмотрении вопроса о сохранении импульса.
Трансформационные свойства (2.39) накладывают ограничения на матричные элементы в (2.34) в соответствии с требованиями теоремы Вигнера — Экарта. Используем теперь тот факт, что (2.34) соответствует чисто колебательному переходу л->Я.
Взаимодействие излучения с веществом
15
Пусть симметрия волновых функций ядер задана:
I %vn)~DW, (2.40)
М~я(Я); (2-41)
тогда матричный элемент если
DW®DW~DW. (2.42)
Другими словами, прямое произведение представлений начального и конечного состояний должно содержать представление полярного вектора. При этом вероятность перехода определяется формулой
¦>w=2|4,<x,»K«. С-43»
Основное правило отбора (2.42) применимо к процессам любого порядка и, как будет показано ниже, в зависимости от обстоятельств запрещает или разрешает переходы.
д. Однофононные и многофононные процессы. Однофононные процессы. Ряд физических результатов можно получить, разлагая оператор Jtv (R, k) в конфигурационном пространстве в ряд Тейлора по смещениям ионов из положений равновесия. При заданных положениях равновесия ионов R{a мгновенные положения ионов можно рассматривать как малые отклонения от равновесия. Возвращаясь к обычным обозначениям и проводя
замену Ra-> ^ ^ и запишем
*С)-*мС)=“(!.)- <244)
или, используя (т. 1, 80.9), можно отождествить величину ~(1 •ки \
из (2.44) с величиной из (т- U 80.9). Таким об-
юм, используя нормальные координаты, получаем
RC)-R,",(l)=vifSel‘'%(’<ir)Q(r)- (2-45)
Исходя из соображений удобства, мы будем использовать либо (2.44), либо (2.45). Разложим теперь матричный элемент из
(2.33) в ряд Тейлора по смещениям ионов. Вообще говоря, можно было бы разлагать в ряд волновые функции аналогично
16
Глава 1
(т. 1, 113.9), а также оператор дипольного момента ячейки однако для наших целей наиболее удобно рассмотреть следующее разложение:
<ф, IЦ (1) I ф,>, = »'» ( [ ) + Z <' (II') “»(1') +
+ Z <2
/Yu /'к 3
46)
Далее мы опустим индекс v, так как он считается фиксированным. Поскольку левую часть равенства (2.46) можно рассмат-
(1 Л
ривать как дипольный момент ячейки I I, величину вида , (1 1' \
