Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
X <Хдт I (фд I е2А { — (^-) Ра + (^) Ра } I I *v»V * (3‘27)
В (3.27) индексы у матричных элементов, как обычно, указывают переменные, по которым проведено интегрирование.
Используем теперь равенства (2.25)—(2.32), чтобы переписать произведения матричных элементов из (3.27) в виде
| Е fa* I <«Pv I Т [/7> -Ua] I Фц)г I t»m)R exp - ik2 ¦ Ra J X X | 2 ei*' fa*™ I (фц IJT [H, Mu'] I VvV I tm)R' exp ik 1 • Ra j, (3.28)
26
Глава 1
или
(?т(е-“~<х»«I»18»'**»Iф»),IV»)*“р~'*2 *«}х
х(?т<?»"- Е,п ) ('Uni 1 <фц i eU' ' Ма' 1 <Pv>r' I Xv*>*' е*Р ikt
(3.29)
Определим теперь аналогично (2.33) недиагональный оператор электрического дипольного момента «с фазовыми множи-
равный сумме недиагональных операторов дипольного момента, помноженных на фазовые множители.
Тогда (3.28) принимает вид
В принципе теперь следует подставить (3.20) в (3.31) и выполнить суммирование по промежуточным состояниям. Для рассматриваемых диэлектрических кристаллов это приводит к чисто формальному результату, неудобному для дальнейшего использования. Поэтому мы сделаем дополнительное упрощение, приняв во внимание некоторые качественные аспекты структуры электронного спектра диэлектриков. Наиболее важной чертой электронного спектра диэлектрика является наличие запрещенной зоны.
в. Упрощение матричных элементов для процесса рассеяния в случае диэлектриков. Возвращаясь к рассмотрению (3.20), заметим, что сумма по промежуточным состояниям означает
где ц — электронное, а т — колебательное квантовые числа.
В качестве наиболее важных промежуточных адиабатических состояний следует взять состояния, которые принадлежат к другой совокупности электронных уровней (зоне), чем начальное или конечное состояние, т. е. р. Ф v. Далее, расстояние между состояниями с |л Ф v в диэлектрике много больше, чем энергия
телями»
МТ (R, - К) s е2А(Ц, - ft2) ^ Е e~ik‘-«* <<pv | е2Л Ma IФД,
а
(3.30)
- <XV« | (R, - k2) I Хйт>* <Xtim I jr (/?', ft,) I %уп)ц, . ev X
X (®vS, цт) (o am, vn ). (3.31)
E-EE,
(3.32)
M
m
Взаимодействие излучения с веществом
27
фонона. Другими словами, можно использовать приближение [ср. (2.39) — (2.43)]
СОvn, U-tn = СО)im = "g" (^v "Ь Е\п Фц ?цт) ^
«¦J.(0°-0°) = <ovil (3.33)
и
\п ^ °\iv = (3.34)
Далее, можно считать, что начальное и конечное электронные состояния совпадают с основным состоянием v — 0. Рассмотрим теперь знаменатель в (3.20). Энергия начального состояния запишется в виде
Et = На>1 + Ф° + Ef, (3.35)
где Ф° — энергия основного электронного состояния, а Ьац— энергия падающего фотона. Энергия промежуточного состояния равна
ЕМ = К + Е[Х (3.36)
так как при этом поглощается фотон; поэтому
(Е, - Ем) = h(?>i + Ф° + ?<? - Ф° - EZ « Йсог + Ф° - Ф° = (3.37)
= Йсог + Йсо0(1, (3.38)
где Йсооц — энергия чисто электронного возбуждения. Множитель б (Ef — Ei) в (3.20) можно переписать в виде
6 (На>} - Йсо, + Ef - ЕР). (3.39)
При написании (3.39) мы предположили, что после акта рассеяния система возвращается в исходное (основное) электронное состояние, так что разность энергий (йсо; — йсо,) равна просто разности энергий колебательных состояний. Аналогичным образом положим
Ef = Йсо, + Ф(0> + Ef. (3.40)
Следует отметить, что в этом параграфе мы считаем, что различные виртуальные процессы происходят в определенной последовательности во времени. В действительности в правильной теории возможна любая последовательность переходов, однако основные результаты получаются и упрощенным методом. Несколько более полное рассмотрение приведено в § 6.
Сопоставляя (3.31) — (3.36) с (3.20), нетрудно заметить, что в действительности можно выполнить суммирование по колебательному квантовому числу m промежуточного состояния.
28
Глава I
Фактически единственный член, зависящий от т, приводит к равенству
I %цт)ц {Хит l/j' = X Xlim (R) Х^т (R ) — 6 (R R )> (3.41)
т тп
которое является следствием полноты набора функций %цт(Л). Этот результат позволяет переписать в более удобной форме выражение для полной вероятности перехода при рассеянии.
Полную вероятность перехода (3.20) можно переписать в виде
1&0п->0п
х (Хоп | ^ (Я, - h) Ж* (R, k{) ] Хоя)* 8
а
P (Ef). (3.42)
Заметим, что выражение (3.42) для вероятности перехода содержит плотность конечных состояний, удовлетворяющих закону сохранения энергии, и квадрат модуля матричного элемента. Определим тензорную функцию (поле), зависящую от R и называемую оператором поляризуемости, соотношением
Р (К, ku k2) ^ ? Сд0 Ы (R, - k2) Жд0 (R, (3.43)
и
где
Сцо = (®оц)2 (й®г — йюд0)-1. (3.44)
При использовании излагаемой теории обычно считается, что частота падающего и рассеянного света сильно отличается от резонансной частоты, так что co(. < = (Ф° — Ф°)/Й. Тогда ве-
личина СцоЫ по существу не зависит от частоты падающего излучения ю<.
Таким образом, (3.42) можно записать в виде
и,0^0й = |(Х0й|е2Л P(R> ki-h)'zi%'\^n)Rfv(Ef)- (3.45)
Очевидно, в выражение (3.45) входят матричные элементы АЛ'-компонент тензорного оператора Р, соответствующего поляризации еи» для падающего и поляризации егь для рассеянного излучения.
