Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп © как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций ?. Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых представлений и векторных пространств кристаллической пространственной группы @. Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп.
На этой стадии мы прерываем изложение теории групп и обращаемся к обсуждению классической теории колебаний решетки. После получения уравнений движения в гармоническом приближении в гл. 8 мы применяем теоретико-групповой анализ для того, чтобы продемонстрировать следующее положение: собственные векторы образуют линейное векторное пространство представления накрывающей группы, т. е. группы симметрии ©. Затем, в гл. 9, мы излагаем теорию влияния антиунитарной симметрии. Вследствие сравнительно малой известности этого вопроса мы довольно подробно останавливаемся на анализе пространственно-временной группы симметрии 8, которая содержит обычные унитарные операторы пространственной симметрии плюс антиунитарные операторы, включающие опера-
20
Глава 1
цию обращения времени. Полезно подчеркнуть, что в этом случае мы должны рассматривать математическую группу операторов симметрии, полученную непосредственно из динамических уравнений, а не из простых геометрических соображений. Антиунитарная симметрия приводит к новым результатам для динамики решетки: физические собственные векторы образуют линейное векторное пространство для копредставлений пространственно-временной группы (В математической литературе копредставления известны также как полулинейные представления.)
Изложению классической и квантовой теории динамики решетки посвящены главы 8, 10, 11 и 12. Сначала в гл. 8 дается обзор классической теории колебаний решетки в гармоническом приближении; изложение основано на использовании симметрии при определении собственных векторов. Наиболее важным с точки зрения приложений представляется утверждение, сформулированное в § 85 в виде «леммы о существенном вырождении», позволяющее связать физическую теорию с теорией симметрии. Это утверждение, состоящее в том, что допустимое вырождение собственных значений и собственных векторов в физической системе является следствием симметрии этой системы, формулируется в физике неоднократно и дает ключ к пониманию многих различных ситуаций. Здесь оно возникает простым и естественным образом в легко изучаемой задаче о классической динамике решетки. В действительности это утверждение вполне общее и его применимость выходит за рамки гармонического приближения.
В гл. 10 на основе теории представлений изучаются и систематизируются различные вопросы классической динамики решетки. Рассмотрение включает теорию инвариантов, вычисление тензоров, влияние энгармонизма и обсуждение того, как, используя свойства симметрии, определить собственные векторы нормальных колебаний и, таким образом, факторизовать динамическую матрицу. Изложение квантовой динамики решетки в гл. 11 следует традиционному рассмотрению в рамках адиабатического приближения Борна — Оппенгеймера. Однако, развивая традиционное рассмотрение, мы строим здесь параллельно теорию симметрии собственных функций. Преобразование собственных функций решетки при преобразованиях симметрии дает удобный способ характеристики основного и возбужденных состояний системы связанных гармонических осцилляторов решетки. Такое рассмотрение позволяет также исследовать интересную внутреннюю связь между теорией симметрии системы, имеющей пространственную группу © или пространственно-временную группу и теорией симметрии системы тождественных
Содержание и план книги
21
частиц относительно перестановок. Последняя, по существу, описывается группой типа SU(n). К сожалению, развитие теории копредставлений еще не достигло того уровня, когда все эти результаты могут быть получены из более общего рассмотрения. Резюмируя, можно сказать, что Центральным вопросом излагаемой теории является классификация каждого классического или квантового состояния решетки по типу его поведения при преобразованиях симметрии или, более точно, характеристика состояния с помощью неприводимого представления или неприводимого линейного векторного пространства, которому принадлежит состояние.
