Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание (ем. ниже): выбор т(«р) может быть неоднозначным, так как может оказаться, что наименьших эквивалентных векторов нетривиальных трансляций несколько, — в таком случае произвольно выбирается один из них.
Пространственная группа @ — это набор преобразований типа (3.1), переводящих кристалл в его реплику путем конгруэнтного отображения. Иначе можно сказать, что пространственную группу @ составляет набор операторов преобразований типа (6.1) (каждому преобразованию соответствует один оператор), которые переводят эквивалентные точки гиг' конфигурационного пространства друг в друга.
б. Групповые свойства операторов {ф|/(ф)}. Чтобы показать, что совокупность операторов вида (6.1) образует математическую группу, установим сначала результат действия двух последовательных преобразований. Так, если
{ф2 ! * (ф2)} • г — <р2 • г -f t (<р2) = г' (6.6)
и
{фЗ 11 (фз)} • Г' = фз • Г' + / (фз) =
--= фз • <f2 • г + ф3 • f (ф2) + t (фз) = г", (6.7)
то из прямого сопоставления следует
{фз 11 (фз)} • {ф2 I * (ф2)} = {фз • ф21 Фз • t (ф2) -f t (ф3)}. (6.8)
Итак, произведение операторов {фз • <рг | <рз • /(ф2) + /(фз)}, очевидно, является оператором преобразования симметрии с поворотной частью фз • Фг и трансляционной составляющей фз * ^(фг) + /(фз). Если фз • фг = ф4, ТО /(ф4) = фз • /(фг) + /(фз).
Используя правило умножения (6.8), нетрудно установить вид обратного оператора для произвольного оператора {фа | / (фа)}. Операция, обратная повороту ф0, есть фо1. Поэтому
I К I * (%)} 1 = {<Ра 1 I - <to1 • * {%)}• (6.9)
36
Г лава 2
Формулу (6.9) легко проверить:
{фа I * W} ' | - Фа 1 • # (%)} =
= R • Фа 1 I - Фа • Фа 1 ‘ * (О + * (фа)} = Ю}. (6.10)
Заметим, что (6.9) определяет оператор, принадлежащий совокупности (6.1), так как его поворотная часть соответствует повороту, обратному разрешенному повороту, т. е. принадлежит совокупности (5.13), тогда как его трансляционная часть соответствует трансляции на вектор, полученный из вектора
— *(фа) поворотом ф~*.
Наконец, можно убедиться в том, что умножение ассоциативно:
{фа 11 (фа)} • {фт 11 (фт)} • {(fv 11 (Ф|1)} =
= ({Фа I * (Фа)} • {Фт I * (фт)}) • {%\ t К)} =
= {Фа | * (Фа)} • ({«Рт I * (Фт)} • К I * К)})’ <6-1 U
Резюмируем: совокупность операторов {фа|<(фо)}, определенных согласно (6.1), образует группу [1]. Мы убедились в замкнутости бинарной алгебраической операции (умножения) , в существовании тождественного элемента, в существовании обратного элемента и в ассоциативности бинарной алгебраической операции. Далее, вследствие наложения на группу Z условий Борна — Кармана, группа © конечна, т. е. она состоит только из конечного числа операторов.
в. Совместность поворотов и трансляций. Из (6.9) следует, что если в пространственной группе © имеется трансляция t(ф2) в качестве трансляционной части сложного элемента симметрии, то в © должны входить и дополнительные элементы Фз • t(фг), получаемые из ?(фг) посредством поворота. Это позволяет рассматривать и систематизировать совместные операторы вращений и трансляций. Полное исследование условий совместности можно найти в других книгах [7, 12, 13]. Здесь мы отметим лишь один аспект этого вопроса. Если операция {фг| ^(фг)} является чистой трансляцией {е | Rl}, то
{Фа | * (Фа)} • {е I • {фа 1 | ~ <' * * (фа)} = {Е I Фа ’ (6‘12)
/
тоже является трансляцией. Но поворот вектора решетки должен переводить его опять в вектор решетки, поэтому вектор фа • Rl должен быть вектором решетки:
Фа 'Rl = Rl’> (6.13)
Кристаллические пространственные группы
37
и в компонентах
^ к) <в-14>
где 1}, I'—целые числа. Поэтому в некоторой системе координат
(q>o)ii состоит из целых чисел. (6.15)
В частности, след матрицы с(а равен
Sp Ч)о = 2 ((fa)u — Целое число. (6.16)
С другой стороны, имеется система координат, в которой матрица <р0 имеет вид (5.7):
(СОЭф — БШф 0\
sin ф соэф 0 .
О 0 1 /
Известно, что след матрицы инвариантен относительно вращений системы координат, т. е.
Sp = ± (2 cos + 1). (6.17)
Следовательно, получаем уравнение
± (2 cos ф-f 1) = целое число, (6.18|)
решение которого дает
Ф=-^-. я=1, 2, 3, 4, 6. (6.19)
Таким образом, (6.19) является хорошо известным условием совместности вращений и трансляций в трехмерном кристалле.
г. Оператор {фJ 0 в криволинейной системе координат [12].
В пространственных группах, для которых естественная тройка базисных векторов аь а2, а3 неортогональна, обычно наиболее удобно использовать для поворотных элементов симметрии представление в виде тензоров второго ранга в криволинейных координатах [12]. Поскольку оператор в такой форме определяет линейное преобразование между г и г', его можно записать в виде
<Р=Ефг/С(6/.
и
где Ъи Ь2, Ьг — тройка векторов, обратных а.\, о2, а3: (6.20)
Oi • Ь/ — ?>{f. - (6.21)
38
Глава 2
Очевидно, записывая
г' = фт, (6.22)
мы производим линейное преобразование, при котором компоненты {х\,х2, Хг) вектора г преобразуются в компоненты (х[, х'2, *з) вектора г'. Требование, чтобы преобразование поворота сохраняло расстояние между двумя точками, приводит к унитарности ф. Пусть фс — матрица, сопряженная ф; тогда
