Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Основным свойством симметрии кристалла является пространственная периодичность, которая характеризует расположение составляющих элементов. Трансляционная симметрия дзначает, что за начало координат можно выбрать любой узел,
24
Глава 2
содержащий атом данного сорта, так как все такие атомы эквивалентны. При любом выборе начала координат должны получаться тождественные физические результаты. Очевидно, если кристалл содержит несколько сортов атомов или ионов (например КС1, NaCl), то эквивалентные атомы или ионы образуют подрешетку. Атомы подрешетки связаны между собой свойством эквивалентности при операциях трансляционной симметрии. Имеются также кристаллы, содержащие один химический элемент, для которых, однако, химическая тождественность атомов не означает структурную эквивалентность. В результате кристаллического упорядочения химически тождественные составляющие элементы, такие, как два атома Ge, могут принадлежать к различным трансляционным подрешеткам. Прй этом только атомы в пределах одной из подрешеток эквивалентны по отношению к трансляциям. В этом случае говорят, что кристалл имеет базис. В случае атомного кристалла, все атомы которого эквивалентны по отношению к трансляциям, кристаллическая решетка совпадает с решеткой Бравэ [7, 12, 13, 16].
Кроме конкретной трансляционной симметрии кристалл может иметь также симметрию относительно поворотов. В этом случае «бремя совместности» ложится целиком на элемент поворотной симметрии: он должен быть совместим с имеющейся трансляционной симметрией.
Далее, следствием определенного расположения элементов может быть наличие составных операций симметрии, состоящих из поворотов и нетривиальных трансляций. Такие плоскости скольжения или винтовые оси дают существенно новые преобразования. Разумеется любая допустимая операция поворотной симметрии может сочетаться с полной трансляцией решетки, давая составную операцию симметрии.
Совокупность поворотных, трансляционных и составных операций симметрии образует пространственную группу кристалла ©. Перейдем теперь к обсуждению математической структуры и теории таких групп.
Математическая характеристика различных преобразований симметрии, входящих в пространственные группы, состоит в том, что они являются линейными, вещественными, неоднородными, дискретными (специальными аффинными) преобразованиями трехмерного евклидова пространства. Аффинное преобразование можно понимать как преобразование, переводящее одну точку в трехмерном пространстве в другую точку в трехмерном пространстве (активная интерпретация). С другой стороны, аффинное преобразование можно истолковывать как преобразование координат фиксированной точки в результате изменения системы координат, используемой для описания точки (пассивная интерпретация). В любой интерпретации это преобразование
Кристаллические Пространственные группы
25
отражает «сопоставление» точки, координаты которой в прямолинейной системе координат есть (хи х2, *з), с точкой, имеющей координаты (*р х'зу Такое сопоставление двух точек или двух троек чисел (компонент) задается преобразованием. Наиболее общее преобразование, допустимое для кристалла, имеет вид
Х1 = Ф11*1 + ^12^2 + %3Х3 + *1 (Ф t /) ’
*2 = Ф2Л + Ф22*2 + Ф23*3 + *2 (Ф//). (3- !)
*з = Ф31*1 + Фз2*2 + Фзз*з + *з (Ф;/)’
где фг/ — вещественные константы, a tu — вещественные величины, которые могут зависеть от набора фг/. Среди всех афинных преобразований (3.1), связывающих тройки чисел (хи х2, х3) с тройками чисел х'2, *'), выберем те, которые а) оставляют инвариантным квадрат расстояния между любыми двумя точками, т. е. метрику, и б) совместимы с определением решетки.
Пусть координаты двух точек до преобразования были (xi, Хг, Хз) и (уи г/г, Уз) в декартовой системе координат. Квадрат расстояния между этими точками равен
d2 = (*i — г/02 + (х2 — у 2f + (х3 — уз)2- (3.2)
При аффинном преобразовании (3.1) тройка чисел (уи г/2, Уз) также преобразуется по закону
У\ = Фи^1 + Фгг^г + Фи Уз + h (ф,/)»
У2 = Ф21^1 + Ф22^2 + Фгз^з + {2 (ф(/)> (3-3)
Уз= Ы + Фз2#2 + Фзз^з + h (Фг/)>
где фг/ и tk в (3.1) и (3.3) тождественно равны. Таким образом, инвариантность квадрата расстояния относительно преобразования записывается в виде
d'2 = « - У'гУ + (х2 ~ У*)2 + (хз~ Уз)2 = d2. (3.4)
Очевидно, (3.4) накладывает ограничение на возможный видф*/. Это ограничение состоит в том, что однородное преобразование должно быть ортогональным при 4 = 0. (Ниже мы проанализируем ограничение, следующее из ортогональности, несколько подробнее: оно принимает разные формы в декартовых и недекартовых осях.)
Определение решетки (пункт «б») накладывает ограничения на некоторые из трансляций ?*(фг/). Наиболее важным является ограничение, возникающее из чисто трансляционной симметрии. Для чистой трансляции- отличны от нуля только диагональные
26
Глава 2
элементы <р', причем ф;;- = 1, так что для чистых трансляций
(3.1) принимает вид
x'i==xi + ti(4>u = 6ii)- (3-5)
Тогда ограничение на ^ состоит в том, что
h (фг/ =*= &ii) есть целое число. (3.6)
Определение кристаллической решетки подразумевает, что она может быть воспроизведена одними целыми чистыми трансляциями [12].
