Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 11

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 127 >> Следующая

Другие ограничения на возможные ф,у- и tk (ф<у) обусловлены тем, что все элементы симметрии должны быть взаимно согласованы. Например, хорошо известное следствие требования совместности состоит в том, что все допустимые трехмерные вращения сводятся к поворотам на углы 2я/п, где лг = 1, 2, 3, 4, 6; п= 5 исключается [12]; см. ниже (6.19).
§ 4. Подгруппа трансляций кристалла
Введем три линейно независимых вектора в пространстве кристалла а\, а2, аз. Они могут быть выбраны различными способами, определяемыми соображениями общепринятости, удобства для данного конкретного случая и т. п. Будем считать, что во всех интересующих нас случаях этот выбор был сделан априори, следуя международному стандарту [12]. Модули этих векторов равны |а/|=а/. Следовательно, векторы характеризуются длиной. Предположим, что начало координат выбрано
в точке 0. Обычно условия, определяющие выбор начала коор-
динат и выбор векторов а,, формулируются одновременно и из одних и тех же соображений.
Предположим теперь, что начало координат 0 совпадает с узлом, в котором находится атом или ион. Тогда вектор, соединяющий точку 0 с произвольной точкой кристалла, представляется в виде
г = Х\Л\ + х2а2 + х3а3, (4.1)
где — произвольные вещественные числа (безразмерные). Таким образом, тройка действительных чисел (*i, х2, Хз) определяет компоненты вектора г в системе координат, заданной векторами (ai, а2, а3). Рассмотрим вектор
Rl = 1\Л\ + 12а 2 + l>fiз, (4.2)
где // — действительные числа. Вектор такого вида называется вектором решетки в кристаллическом пространстве. Набор всех векторов решетки в кристаллическом пространстве соответствует выбору в качестве допустимых значений // всех действительных целых чисел.
Кристаллические пространственные группы
27
Рассмотрим элементарную трансляцию решетки. Определим ее как такое преобразование, при котором вектор г переходит в вектор г', где
Согласно определению решетки, единственное чисто трансляционное (конгруэнтное) преобразование симметрии, которое может иметь кристалл, — это трансляция на вектор решетки Rl. Следовательно, (4.5) можно понимать как преобразование, связывающее две эквивалентные точки г и г'. Это значит, что физические свойства кристалла, определенные в точках г и г', должны быть одинаковыми.
а. Операторы трансляции {e|/?l}. Для обозначения преобразования (4.5), а затем и более общего преобразования (3.1) оказывается удобным определить оператор {е|Rl}, задаваемый двумя символами. В этом параграфе первый символ не является необходимым, но он будет сохранен для последовательности изложения, а также для использования в дальнейшем. Оператор трансляции определяется соотношением
Из (4.6) следует, что оператор, обратный {e|/?l}, можно определить соотношением
Следовательно, если ввести оператор тождественного (без трансляции) преобразования {е[0}, где
и
или
(4.3'
(4-4)
(4.5)
(е I Rl) • г = r' = г + Rl.
(4.6)
где
{r\Rl)~1^{r\-Rl}, {е I Rl}1 • г = r — Rl.
(4.8)
(4.7)
то
{е 10> - г
{8 I {8 \RL}~1 = {81 Rl}~1 . {8 I = {e 10}.
(4.10)
(4.11)
28
Глава 2
Очевидно, теперь можно перейти к правилу последовательного выполнения двух операций трансляции. Так, если
{е| RL}.r = r' = r + RL,
то
{е 1 Rl} .r' = r" = r' + RL = r + 2Rl, (4.12)
или
{г | Rl} • {г | Rl} = {е 12RL} = {е | Rtf. (4.13)
Следовательно, если {е | определяется согласно (4.6) >и если
ввести
RM = тхах + ща2 + m3<z3, (4.14)
где гп/ — целые числа, и
Rn = щах + п2а2 + ща3, (4.15)
где rij — целые числа (так что RM и RN — векторы решетки),
то можно рассмотреть операторы
{е IЯм) • г = г + Ям, (4.16)
{е|Лдг}.г = г + Лдг. (4.17)
Очевидно, общее правило произведения (последовательного действия) этих операторов имеет вид
{е I Rm) ‘ {е I Rl) ' r — {? I Rm) (r + Rl) ~r + #? + Rm (4.18)
{s\Rm}-{z\*l} = {z\Rm + Xl} = {s\Rl + Rm}- (4.19)
Если принять
Ru+l — Rl+m = Rl-{~ Rm< (4.20)
где
Rm+l~ (mi + h) o-i + (ph + h)a2 + (m3 + /3) <*3, (4.21)
то, очевидно, R^+l, так же как RL и является вектором решетки. Таким образом, из (4.18) имеем
{е I R„) • {е I Rl) = {« I Rl+m} = {е I Rl} • {« IRM}- (4.22)
Наконец, используя (4.18) и (4.22),- легко показать, что
{8 I Rn} • {е I = (е I Rn+m} • {8 I Rl}> (4.23)
где
Rn+m = (ni + m0 + (п2 + т2)а2 -f (n3 + т3) а3. (4.24)
Заметим, что вследствие свойства простой аддитивности трансляций можно привести (4.23) к виду
{е 1 Rn) ¦ I Rm+l) = I Rn+u+l). (4.25)
б. Группа трансляций ?. Подведем итог. Операторы {е | /?/.}
определены формулой (4.6). Оператор определен через его действие на вектор г в кристаллическом пространстве. Каждому
Кристаллические пространственные группы
29
вектору решетки Rl можно сопоставить соответствующий ему оператор трансляции {е | /?l}. Так как вектором решетки является любой вектор вида (4.2) при — оо < < -f оо, ясно,
что произведение двух операторов трансляции решетки дает оператор трансляции решетки. В совокупности операторов трансляции (4.6) имеется один с особыми свойствами — это оператор тождественного преобразования. Каждому оператору трансляции может быть сопоставлен другой оператор (обратный ему) таким образом, что произведение таких двух операторов дает оператор тождественного преобразования [см. (4.7)]. Наконец, произведение (последовательное применение) операторов трансляции обладает математическим свойством ассоциативности [см. (4.23)].
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed