Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Кристаллические пространственные группы
41
ИЛИ
= (7.3)
Рассмотрим разбиение группы © на смежные классы по подгруппе ?, определяемое равенством
© = % + {ф2 I тг} 2 + ... + {фа | та} % + ... + {фр | тр} 2. (7.4)
Согласно (6.8), произведение двух представителей смежных классов равно
{фа I та} • {фр I тр} = {фа ' фр I фа * хр + *а}- (7.5)
Введем обозначение фа-фр^ф(тр. В разложении (7.4) представителем смежного класса с такой поворотной частью является {фар | тар}. Перепишем поэтому (7.5) в виде
{фа1 ^а) ‘ {фр I ^р} = {® I ^ар} * {фар I ^ар}< (7*6)
где
^ар = Фа-Тр + Та-Тар. (7.7)
Здесь Rap — вектор трансляции решетки и {е | Rap} — элемент группы ?. Удобно ввести специальное обозначение (фа, фр) следующим образом:
(фа> фр) ~ {® I Rap}' (7.8)
Мы видим теперь, что произведение двух элементов из SP соответствует произведению двух представителей смежных классов группы © с точностью до множителя, являющегося элементом группы ?:
в Щ: {фа I 0} • {фр | 0} = {фар | 0}, (7.9)
В ©: {фа [ та} • {фр | Тр} = (фа, фр) {фар I тар}. (7.10)
Таким образом, закон умножения для группы ф таков же, как и для группы © с точностью до множителя, являющегося элементом группы ?. Совокупность р2 элементов
(фа, фр = {81#ар}> ст, Р= 1, .... р, (7.11)
называется системой факторов, соответствующих расширению.
Система автоморфизмов должна удовлетворять не-
которым условиям совместности с законом умножения (7.10). Так, произведение двух автоморфизмов определяется как автоморфизм произведения, или, точнее,
(!ei *Lff- с*' %' -к'- ={«I к • о-' • -
42
Глава 2
При выводе (7.12) мы использовали определение (7.2), закон умножения (7.10), (7.11), а также тот факт, что группа ? является абелевой, т. е. циклической, группой, так что^все элементы системы факторов коммутируют:
(фст. фр)(фц. ф*) = (фц. ф*)(фа. фр). (7.13)
так как они являются элементами группы ?. Вследствие свойства (7.12) расширение ? с помощью $ называется центральным.
Для элементов группы ® выполняется закон ассоциативности умножения, так что
{ф<т I *о} ' ({фр I ^р} ’ {фя I *я}) — ({фа I • {(fp | тр}) • {фл Тя). (7.14)
Используя (7.5), (7.8), получаем для левой части (7.14)
{ф(т1 " (фр. Фл) ‘ {фря1 ^ря} ==
^ {фа I та) ' (фр> Фл) * {фа I та} ' {фст та} ' {фря ! ^рл} =
-1
== (фр> Фл) ’ (фа ’ фря) * {форя I ^аря}> (7> 15)
тогда как правая часть равна
(фа. Фр) ' {фар I ^ар} ’ {фя I ^я} (фа> Фр) " (фарфя) {фаря I ^аря}- (7-16)
Следовательно, должно выполняться равенство 0-i
(фр, Фл) * (Фа. Фря) = (Фа, Фр) * (фар. Фя)- (7-17)
Преобразуя это выражение, получаем для левой части
{е | фа • /?рЯ} • {в | /?СТрЛ} =
“ {® I Фа ' (фр ^я “Ь ^р ^ря) “Ь Фа ' ^ря + та ^аря} =:
= {е1 фафр ‘ тя “Ь Фа ” тр Фа ' тря “Ь Фотря “Ь та "'¦аря}- (7-18)
Соответственно для правой части получаем-{® I Фа ' ^р “Ь ^а ^ар} ‘ {® 1 Фар * ^я “Ь ^ар ^аря} ==
= {® I Фа ’ ^р “Ь ^ор “Ь Фар ‘ ^я “Ь ^ар ^аря}- (7.19)
N
Почленное сравнение полученных выражений показывает, что элементы системы факторов удовлетворяют равенству (7.17).
В заключение следует преобразовать закон умножения (6.8) для операторов пространственной группы к форме, удобной для установления связи с теорией расширения. Произвольный оператор пространственной группы {фа|*(фа)} хможно записать р виде •
{Фа t ^ (фа)} =*= {е I • (Фр I *а}. (7-20)
Кристаллические пространственные группы
43
где Rs — вектор решетки и {фа|та}— представитель смежного класса. Далее, рассматривая Rp как вектор решетки, имеем
{фа1*(фа)} • {фя1*(фя)} =
¦{е| Rs} • {фа I та} • {е I Rp} • {фя I тя} =
= (е I #Л • {Фа I тст) • (е I Rp) {фа I та}“’ • {фа I Ха) ' {фя I Хя) =* = {е i Rs) • (е I Rpf ' • {фа1 Та} • {фя I *я} =
= {8 I *Л • {е | Rp)a~l (ф„, фя) • {ф0„ I Тая}. (7.21)
Таким образом, мы видим, что каждый элемент {фа|/(фа)} группы ® может быть записан как упорядоченное произведение элемента из группы ? на представителя смежного класса, которому соответствует элемент группы
{фв1*(фа)} = {е|*Л-{фа1*0}. <7-22)
Закон умножения для двух таких элементов имеет вид {е I If Л ¦ {фа 1ТЛ • (е I Rp) • {фя I тя} =
= {е I Rs) ' {« I #p}° • (Фа. Фя) • {фая I тая}, (7-23)
задавая тем самым систему автоморфизмов группы X
{81 Яр}0"1 = {е Фа • Rp) (7-24)
и систему факторов
(фа, фя) = {8 I *ая} == I фа ‘ ^я ~Ь ^а ^ая}- (7.25)
Для системы автоморфизмов выполняется правило (7.12), а для системы факторов — правило (7.17). Следовательно, определяющие свойства пространственной группы © удовлетворяют условиям теоремы Шрейера. Поэтому пространственная группа © является центральным расширением группы ? с помощью группы $ [20].
Соответственно математическая задача отыскания всех пространственных групп ® оказывается тождественной задаче о нахождении всех групп трансляции всех точечных групп $ и всех центральных расширений. Эта задача давно была полностью решена Шенфлисом и Федоровым. Результаты, и полное перечисление 230 кристаллографических пространственных групп приведены в книге [7]. Мы будем использовать эти результаты по мере необходимости. При этом мы будем пользоваться как обозначениями Шенфлиса, так и Сокращенными обозначениями Германа — Магуина [16].
