Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, совокупность всех операторов трансляции {е | #i} образует группу [1—3]. Эту группу мы будем обозначать 3; и называть группой операторов трансляции кристалла. Некоторые свойства этой группы, являющиеся прямым следствием аддитивности векторов решетки, приводят к следствиям, важным для всего последующего рассмотрения.
Рассмотрим три вектора
R2 = a2, R3 — CI3, (4.26)
которым соответствуют операторы
{е |Д,}; {е| Д2}> ОЧЯз}. (4.27)
Заметим, что
' {«I /,«!> = {е | Л,>г‘, (4.28)
{е|/2а2} = {е|Я2}г’, (4.29)
{е|/3а3} = {е|*3}г\ (4.30)
Следовательно,
{е \Rl) — (8 11\й\ + ha2 + 4аз} = (4.31)
— (81 Ч\)1' • {е I я2},г • {8 I a3},3< (4.32)
в. Структура группы ?. Из вышеизложенного следует, что группа $ является прямым произведением. Если определить З^, группу, состоящую из всех операторов трансляции, построенных на {е | /?!}, т. е.
{B\hal) = {B\a1}l' = {e\Rl}1' (4.33)
для всех U, и аналогичным образом ?2 и ?3, то легко заметить, что
г-=г1®г2®'2:3. (4.34)
Каждая из групп $1( ?2 и ?3 является группой трансляций. Каждая группа в отдельности порождается одним элементом {е | /?i}, {е | #2} и_ {е | Дз} соответственно и степенями этого элемента.
30
Глава 2
Очевидно, каждая из групп Si, Х2 и ?3 является абелевой группой с одним образующим элементом. Поскольку
{81 *,} • {8 IЯ2) = {81Ц • {е I *,} и т. д., (4.35)
все образующие элементы коммутируют; следовательно, группа X — абелева группа и является прямым произведением.
Ясно, что, поскольку область возможных значений // охватывает все вещественные целые числа, число элементов, или порядок каждой из групп $Г, $2 и $3, бесконечно, а группа % имеет трижды бесконечный порядок. С физической точки зрения оказывается неудобным рассматривать группы бесконечного порядка. Поэтому на этой стадии обычно вводятся периодические граничные условия Борна — Кармана.
г. Граничные условия Борна—Кармана [18, 19]. Рассмотрим группу Si и составляющие ее трансляции. Предположим, что имеется большое положительное число NU- такое, что точки г — Nidi и г + Nidi в пространстве кристалла тождественны. Такая тождественность могла бы выполняться-строго только в том случае, если кристалл в направлении был бы кольцом. Однако если число JV4 достаточно велико, это предположение можно понимать как предположение о том, что кристалл разбивается на большие блоки, или основные области. Эти большие блоки повторяются так,, чтобы воспроизвести весь кристалл. Поскольку расстояние между точками г — Nia4 и г -f- Niat составляет 2Ni шагов длиной граничные условия Борна — Кармана можно записать в виде
г — yViflj = г + N^u (4.36)
или
r = r + 2Nial. (4.37)
Далее (4.37) можно переписать в операторной форме:
{е 10} • г = г = {е 12УУ,а,} • г = {е | axfN' • г. (4.38)
Аналогичным образом пусть N2 и N3 — большие положительные числа, такие, что для произвольного г
{е 10} • г = г = {е | 2N2a2) ¦ г = {е | а2}2"’ • г, .(4.39)
{е 10} • г = г = {е 12N3a3) • г = {е | а3}2Ыз • г. (4.40)
Следовательно,
{е | а,}2"1 = {в | а2}2"’ = {в | а3}ад = {в 10}. (4.41)
Так как {в | 0} есть тождественный элемент в группах ?i, ?2, $з
или Ж, то становится ясно, что условие Борна — Кармана фак-
Кристаллические пространственные группы
31
тически обращает группы бесконечного порядка в группы конечного (но большого) порядка. Возможна эквивалентная формулировка этого результата через допустимые значения, которые могут принимать индексы //. А именно: вектор решетки в кристаллическом пространстве, согласующийся с периодическим граничным условием Борна — Кармана, RL, можно теперь определить как
Rl == hai "Ь "Ь ha3> гДе —< // ^ Nj, (4.42)
и
Rl + 2./V\й\ = Rl "Ь 2Af2<*2 — Rl "Ь 2Af3a3 = RL. (4.43)
Очевидно, $i следует теперь рассматривать как абелеву группу порядка 2N{ с одним образующим элементом {е | ai}; это относится и к группам и ?з- Полную трансляционную группу ? следует рассматривать как абелеву группу с тремя образующими элементами, имеющую порядок N, где
N Я (2ЛМ (2N2) (2N3) = 8^,ад. (4.44)
Другими словами, ? является прямым произведением абелевых подгрупп, на что и указывает (4.34).
д. Свойство оператора {е | /}. Из (4.6) видно что операторы {e|f}, если их применить к разности векторов г, определены неполно. Действительно,
{е| t}-r = r + t, (4.45)
{e|f}-V = r' + f, (4.46)
так что
{е | t}-r-{e\t}-r' = r-r'. (4.47)
Но для р = г — г' имеем
{e|*}-P = P + f, (4.48)
так что
{е| t}-(r-r') = (r-r') + t. (4.49)
Таким образом,
{е | *} • г - {г | t}-r' Ф, {е | *} . (г - г'). (4.50)
Поэтому следует различать операции (4.47) и (4.49). Это разли-
чие становится ясным, если рассмотреть физический смысл преобразования. Если мы хотим произвести жесткий сдвиг двух точек г и г' на равную величину t,~ при котором сохраняется (или остается инвариантным) расстояние г — г', то следует воспользоваться операцией (4.4 7). Если ^ке требуется произвести жесткое смешение вектора р = г — г', то нужно пользоваться (4.49). Этот вопрос не должен вызывать затруднений.
32
Глава 2
§ 5. Элементы поворотной симметрии: точечная группа кристалла
