Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим случай простого кубического кристалла. Тогда в качестве векторов аь а2, а3 из (4.1) можно взять тройку взаимно ортогональных векторов равной длины, так чтоаг-Я/ = = а26г/ и |а,| = а. Далее, рассматривая матрицу преобразования ф в декартовых координатах, запишем ее матричные элементы в виде (ф);/ = фг/. Требование ортогональности ф следующее из (3.4), приводит к ограничениям, накладываемым на
Вычисляя детерминант правой и левой частей (5.1), получаем
В общем случае вращение может быть и собственным, и несобственным; мы будем их различать по мере необходимости.
Хорошо известно [1]> что заданная вещественная унитарная (или ортогональная) матрица с помощью ортогонального преобразования может быть приведена к виду
Как будет показано ниже, из требования совместности поворотов ф и трансляций решетки с необходимостью следует
Отметим, что преобразование, приводящее одну из матриц ф набора преобразований симметрии к виду (5.7), вообще говоря, не будет приводить к такому же виду какую-либо другую матрицу ф7, даже из того же набора.
транспонированную матрицу ф с элементами (ф) г/- = Фг/;
Ф • ф = ф • ф = е, где е —единич'ная матрица с размерами (3X3):
(5.1)
(е)</ = вн-
(5.2)
det ф • ф = (det ф)2 = 1,
(5.3)
(6.4)
или
det ф = ± 1.
Для собственных вращений
det ср == -Ь 1 (собственные вращения). Для несобственных вращений (или отражений)
det ф = — 1 (несобственные вращения).
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Кристаллические пространственные группы
33
а. Операторы поворотов {<р|0}. Оператор {<р|0} можно определить соотношением
{ф I о) • г ?=ф • г = г\ (5.9)
где
Ф • г = х[а1 + х'2а2 + х'3а3, (6.10)
а х\, х', -х' определены соотношениями, аналогичными (3.1), но с tf (({) = 0:
Х{ = Ь1Х1 + %2Х2 + %3Х3’
Х2 ~ ^21Х1 $22Х2 “Ь
Х3 ~ %1Х1 “Ь Уз2Х2 “Ь ФЗЗ^З"
Обратное вращение <р-1 обладает тем свойством, что для ортогональной матрицы <р-1 ¦= ф, так что ф~! ¦ ф = е аналогично
(5.1). Соответственно в операторных обозначениях
(ф I О}-1 = (ф-1 10} (6.11)
и
{Ф | Op1 • {Ф 10} = {ф- • ф 10} = {е 10}, (5.12)
где {е | 0}—тождественное преобразование (4.10).
Для каждого конкретного кристалла в общем случае имеется целая совокупность матриц <ра, соответствующих преобразованию типа (3.1), которую мы обозначим
е» Фз, Фз, • • •, ФР- (5-13)
Каждая из матриц фа вещественна и унитарна, и каждая удовлетворяет условию (5.1). Произведение двух поворотов дает также поворот;
фа-ф* = ф<п- (б-14)
В общем случае он принадлежит совокупности (5.13).
б. Точечная группа 5р. Полную совокупность различных поворотов, входящих в качестве однородной части в общее преобразование (3.1), будем описывать набором (5.13). Эта совокупность образует группу, которую принято называть точечной группой $ кристалла. Используя операторные обозначения, мы можем сказать, что набор из р операторов
{8 10}> {ф210}, {фр|0} (5.15)
составляет группу $. Очевидно, что правила умножения этих операторов имеют вид
{ф.|0)-{ф,|0} = {ф„|0}, (5.16)
34
Глава 2
где {ф <JT | 0} принадлежит совокупности (5.15). Заметим, что при этом не утверждается, что любая точка кристалла имеет симметрию $. Следует подчеркнуть, что $ является такой совокупностью преобразований общего вида (3.1), которая соответствует поворотам. Совокупность операторов (5.15) удовлетворяет групповым постулатам: в этой совокупности имеется тождественный элемент {е|0}; согласно (5.16), произведение двух операторов относится к этой же совокупности; для каждого оператора имеется обратный оператор; произведение обладает свойством ассоциативности. Следовательно, $ соответствует математическому понятию группы.
§ 6. Общий элемент симметрии кристалла: пространственная группа @
а. Оператор {<p|f(<p)}. Для обозначения преобразования симметрии общего вида (3.1) введем оператор {<p|f(<jp)}:
{<pl t (<р)} • г = ф • г + t (ф) = г'. (6.1)
Отметим, что формула (6.1), переписанная в компонентах, совпадает с (3.1). Можно перечислить все операции в наборе или полной совокупности преобразований типа (3.1). Перечисление проще всего выполнить, группируя все операции, содержащие одинаковые повороты:
{е|0}, {elaj, {е|а2}, {е|а3}......{e|flL},
{ф2|т(ф2)}, {ф2|т((р2) + а1}, {ф21 т (<р2) + а2}, {ф21 т (qi2) + а3}, ...
.... {ф21т(Ф2) + #l}> '•••; (6.2)
{фр1Т(фр)}> {фр1Т(фр)+«1}» {фр Iт (фр) + «2}. {фр Iт (фр) + «з}> ...
• • •. {фр Iт (фр) + Rl)> ....
Отметим, что перечисление (6.2) выполнено таким образом, что величина т (ф0) определена соотношением
т (фо) = t (ф0) — Rl = ха, (6.3)
т. е. т(фо) есть наименьшая трансляция, совместимая с поворо-
том фа и трансляцией на вектор решетки Rl. Таким образом, имеются две возможности:
( т (ф) — нулевой вектор (6.4)
или
т (ф) — вектор трансляции, не являющийся трансляционным вектором решетки. (6.5)
Иными словами, для любой операции пространственной группы трансляционная часть #(ф) либо равна одному из векторов ре-
Кристаллические пространственные группы
35
шетки /?z. (ф), либо равна сумме вектора решетки (возможно, нулевого) и вектора трансляции т(«р), называемого вектором нетривиальной (частичной) трансляции. Перечисление возможных совместных комбинаций <рс и т(<ра) является задачей кристаллографии; оно приводит к выводу, что существуют всего 230 трехмерных пространственных групп [12, 13]. Будем считать, что эта описательная работа выполнена и ее результатами можно пользоваться по мере надобности. Перейдем теперь к рассмотрению математической структуры пространственных групп и тех их свойств, которые будут необходимы для последующего рассмотрения. • '
