Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, примем во внимание, что имеются случаи, когда требуется знание действительно всех матричных элементов матрицы Так, например, пусть — элемент прос-
Неприводимые представления пространственных групп 9?
транства
ц(**) <*> == {ф(4т)(т), ..., ф(4т)(т)} . (36.15)
Пусть ^
P{*p\t(,,p)}ssP{,tp) (36.16)
является элементом группы ©. Тогда мы имеем
Р{, }^М(т)= t S D^(m)({%}\aaHxb^o){m\ (36.17)
i pf a=I P~1
где
n(**) (m) \\
V иФр^(аа) (xb)
представляет собой элемент ab матричного блока, входящего в правую часть равенства (36.14):
D(т) ({фр})(аа) (tW - (Д(*4) <т) (ШоАь =
S =(Ь(4)(т)({фа})_1-{фР}-{фЛ))ай. (36.18)
Разумеется, если {<рр} входит в группу ©(&*), то единственным
отличным от нуля блоком матрицы будет блок с индексом
о = ти пространство 2 (*т)(т) преобразуется в себй. В случаях, когда нам потребуется 'точное выражение для результата действия элемента группа @ на один из элементов пространства 2(**)(m)j мы будем следовать форме записи в (36.17), (36.18). Обратим внимание на сокращенные обозначения в (36.16) —
(36.18), которые будут иногда использоваться, однако всегда с повторением их определения во избежание недоразумений. Так, {фа 11 (фа)} сокращенно записывается в виде {<ра}-
§ 37. Характеры представлений группы ©;
индуцированные характеры
Следуя логике рассмотрения в § 36, в частности относящейся к обозначениям, будем обозначать характер матрицы (36.3) как
В этом случае также использование обозначений (36.4) позволяет ввести характеры с точкой у}Ь) (т> для всех элементов полной группы ©:
{О, если X не входит в ©(k),
(37 2)
(X), если X входит в ©(ft). '
98
Глава 5
Из (36.14), (37.1), (37.2) определим след любого элемента группы © для неприводимого представления D( (т). Получим
^ ({% I Тр}) = t %{k) {т) ({ф„ I *«}"' • {фр I Тр} • {Фа I То})- (37.3)
р=1
Заметим, что для любого характера с точкой либо аргумент
{ф01 тоГ' • {ФРI тр} • {ф01 т0} (37.4)
принадлежит группе ©(&), либо характер с точкой обращается в нуль. Рассмотрим теперь подробнее случай, когда {фр|тр} является элементом группы ©(&), т. е. рассмотрим
(т) ({Ф1J Ч}) = ? (m) ({Фс 110}- ' ¦ {Фг, | тг J • {(Pa| т0}). (37.5)
Элемент {ф^ 1т^} в группе © (k) входит в некоторый класс. Класс элемента {фгх |т^} в ®{Щ представляет собой максимальный набор элементов группы ®(k), сопряженных элементу K|t,J, где сопряжение выполняется с помощью элементов группы ®(k). Однако сопряжение, которое явно выписано в (37.5), выполняется с помощью представителей смежных классов {фа|та}, которые именно не входят в группу ®(k). Поэтому сопряженный элемент {ф0 | Тд}-1 • |фг^ | t(jJ • {ф„ [ г„} может входить в группу ©(&), но вполне может при этом оказаться в другом классе группы ®(k), чем {фгх|т^}- Тем самым отдельные отличные от нуля члены в (37.5) могут быть, а могут и не быть равными; другими словами,
*(А) (т) (К I ч}) = (т) ({фо I То}"1 • К I {Фа1 Т0}),
если аргументы (т. е. элементы) действительно входят в один и тот же класс группы ®(k) или если оказывается, что в частном случае рассматриваемого представления два различных класса представления имеют одинаковые характеры. Каждый случай должен анализироваться отдельно; хотя некоторые общие правила и могут быть получены, они имеют слишком ограниченное значение для практических целей.
Как и в случае матриц /)(**)представляется полезным подчеркнуть, что выбор канонического волнового вектора для звезды произволен, но фиксирован на всем протяжении анализа. Заметим, в частности, что для вычисления (37.5) необходимо конкретизировать индексы а представителей смежных классов по подгруппе ©(&), что требует конкретного выбора одного вектора k в звезде *k.
Неприводимые представления пространственных групп 99
Очевидно, нам все еще остается решить несколько задач. Следует показать, как практически получить все допустимые неприводимые представления Dw^m) каждой группй ©(ft). Далее, следует показать, как можно построить все неприводимые представления группы ©. Наконец, используя соотношения орто-нормированности и полноты для характеров группы, необходимо доказать, что были определены действительно все неприводимые представления группы ©. Эти задачи рассмотрены в последующих параграфах.
§ 38. Допустимые неприводимые представления звезда общего типа при @(ft) = &
При определении допустимых неприводимых представлений группы ©(ft) в зависимости от структуры и размерности звезды волнового вектора *k (32.10) следует различать два главных случая. В первом случае *ft содержит, gp независимых неэквивалентных волновых векторов:
*k = {kl = k, *2 = Ф2 * fei, .. ., ftgp = ср?р • ft}, (38.1)
т. е. каждое отдельное преобразование поворота из группы ф — ©/?, примененное к каноническому волновому вектору ft, дает независимый волновой вектор. В этом случае звезда *k имеет столько лучей, сколько преобразований поворота в группе ф, поэтому s = gp, *k называется «звездой общего типа». Во втором случае, когда s < gp, звезду *ft называют «звездой специального типа»; он будет рассмотрен в следующих параграфах.
В случае звезды общего типа (38.1) пространственная группа ©(ft) = ?, т. е. равна группе трансляций. В этом случае допустимые неприводимые представления имеют размерность
