Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В (39.12) Яь{к) — любой вектор решетки из группы Z(k). Во всех практических случаях, в которых применялся данный метод, вектор решетки Ru (k) определяется однозначно. Если предположить, что это так, то закон умножения (39.11), (39.12) однозначно определяет произведение смежных классов, возникающее при перемножении.
При выполнении правила (39.11) набор (/*•/) представителей смежных классов обладает замкнутостью и изоморфен абстрактной группе П(й). Для этой группы можно обычным образом получить таблицу умножения, структуру классов и коэффициенты перемножения классов. Если определить коэффициенты перемножения для классов й**’, й}4) и группы П (k) равенством
= ? (//1 /)<*> (39.13)
то характеры неприводимых представлений удовлетворяют соотношению
c\k4k) w W). c\\(k) w ? (ij I /)<*> x(A) w №*>) ¦ c?\
‘ (39.14)
где /ц — размерность неприводимого представления %(*>№),
а — порядок класса группы П(й). Для характеров допустимых неприводимых представлений %<*>(т) группы П(й) и © (k) должно выполняться соотношение
5С(*>{т) ({е I Rl (Щ) = 1т ехР _ & • Rl (*) Для допустимых т. (39.15)
Неприводимые представления пространственных групп 108
Заметим, что в (39.15) мы используем вектор трансляции решетки Rl(Ii), так как для любого вектора Ri(k) группы $(й) этот результат тривиален вследствие (39.2). Поскольку вектор k известен, равенство (39.15) представляет собой важное ограничение на индекс неприводимого представления и позволяет однозначно определить допустимые представления, которые в последующем будут всегда обозначаться индексом \х — т.
Наконец, характеры неприводимых представлений группы П(Л) удовлетворяют условию полноты
? cfx(k) ы (<5/) ы (6/)* = lk't, (39.16)
/
где (h-t) — порядок группы П(й). Очень важно заметить, что условие (39.16) применимо к характерам %(*° (т) как допустимых, так и запрещенных представлений и, далее, что все величины в (39.16) относятся к группе П(й), в которой классы и т. д. определяются путем нахождения сопряженных элементов группы П (к) с помощью элементов из П(Л). Напомним еще раз, что П(Л)е= ©(*)/$•(*).
§ 40. Запрещенные неприводимые представления /)(*><»*>.
Метод малой группы
Элиот и Лаудон [34], анализируя некоторые правила отбора для структуры алмаза, отметили полезность использования запрещенных неприводимых представлений группы П (к) = = ®{k)/Z(k). Ниже мы вернемся к анализу правил отбора, проведенному этими авторами, а сейчас сконцентрируем внимание на значении представления группы П(й), когда ц яв-
ляется индексом запрещенного представления.
Очевидно, все неприводимые представления ?)<*>М являются гомоморфными отображениями абстрактной группы П(?), состоящей из набора представителей смежных классов (39.10), замкнутого относительно умножения согласно (39.11) и (39.12).
Предположим теперь, что у нас есть какое-нибудь допустимое неприводимое представление группы Щй), и рас-
смотрим матрицу, представляющую элемент
DW о») ({е | RL (*)}) = exp - ik ¦ RL (k) Пт. (40.1)
Вычисляя прямое произведение этой матрицы само на себя, получаем
?><*)(т) ((8 I Rl (*)}) ® D<*><™> ({81 Rl(*)}) = exp - 2ik . RL(k)Um ® nm.
(40.2)
Ясно, что (40.2) представляет собой квадратную матрицу с размерами (21т X 2/т), которая преобразуется при трансляциях как
104
Глава 5
система матриц с волновым вектором
k' = 2k. (40.3)
Тогда полное представление прямого произведения Р (k)
/)(*) (m) 0/)(*) (m) (40.4)
должно соответствовать волновому вектору k' в (40.3).
С другой стороны, согласно теореме Машке, любое представление абстрактной группы либо неприводимо, либо разложимо. Поэтому представление (40.4) разлагается в прямую сумму неприводимых составляющих, соответствующих вектору k:
?)(*)(«)®?)(*)(m)=X(ffMnln)^(*)01). (40.5)
И
причем в (40.5) допустимы все значения ц. Согласно предыдущим утверждениям, представление (40.5) соответствует волновому вектору k. Следовательно, некоторые запрещенные неприводимые представления ?)(*Нт>( |хфт, группы П(?) можно отождествить с представлениями, соответствующими в действительности волновому вектору 2k. Поэтому представление прямого произведения вида (40.4) является одновременно представлением, соответствующим вектору k (которое может быть запрещенным), и представлением,, соответствующим вектору 2k, которое может оказаться неприводимым.
Выбирая снова допустимое и принадлежащее П(?) представление можно рассмотреть его многократные внутренние
прямые произведения
... ®/)<«<*) = [?><*>(«>]„, (40.6)
получая в каждом случае снова некоторое представление абстрактной группы операторов П(й), которая в действительности соответствует волновому вектору pk.
Следовательно, можно заключить, что все допустимые неприводимые представления DWM, при |хфт связаны с набором волновых векторов, получаемых из вектора k:
k, 2k, ..., tk. (40.7)
Соотношение между запрещенными представлениями li ф т, и неприводимыми представлениями группы ? можно установить, рассматривая таблицу характеров представлений ?)<*><“) и сравнивая
?)(*)(м.)> \афт группы П (k) (40.8)
и
?){pk){m) группы П {pk), р= 1.............. t, (40.9)
