Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1 Т. 6.
/**)<«>({е|0» = 1. (38.2)
Ясно далее, что при этом полное подпространство 2(ft)(m) состоит из одного блоховского вектора так что
DW(m)({?\XL}) = exp-ik-Rl. (38.3)
Неприводимое пространство (32.11) имеет вид
2(*ft)(m) = S(ft>)(m)® ... ®s(%)(m) (38.4)
или
2(**)<m) = {V*1. ^(*gp)}. (38.5)
Неприводимое представление имеет размерность gp.
Явный вид ?>(**) (т>, а также система характеров будут приведены
100
Глава S
ниже. Отметим также, что в этом случае индекс т является излишним, так как группа ? имеет только одномерные неприводимые представления; мы оставляем его, чтобы сохранить последовательность в обозначениях.
§ 39. Допустимые неприводимые представления Звезда специального типа. Метод малой группы
Рассмотрим теперь случай, когда s < gp, так что в звезде *k содержится меньше лучей, чем отдельных операций поворотов в группе 5(3. Очевидно, в этом случае группа ®(k) не сводится к тривиальной, а представляет собой, как в (36.1), пространственную группу, имеющую дополнительных представителей смежных классов, кроме тождественного. Было предложено несколько полезных методов определения допустимых неприводимых представлений которые мы рассмотрим последова-
тельно. В настоящем параграфе мы изложим метод малой группы, который, по-видимому, был впервые использован применительно к теории пространственных групп в работе Херринга [31].
Все нужные нам допустимые неприводимые представления характеризуются тем, что для любого элемента группы ? выполняется равенство
DW <»> ({с | /??}) = (exp - ik • Rl) IIm> (39.1-)
где EL — единичная матрица с размерами (1тУ(1т). Предпо-
ложим, что в группе ? имеется элемент {c|/?l(&)}, обладающий свойством
k • Ri(k) — 2лх, (39.2)
где х — любое целое число. Тогда для этого элемента, очевидно,
имеем
D<*> <»> ({с IKL (k)}) = nm = Z)<*> <-) ({81 0}). (39.3)
Элемент {c|/?l(A)} представляет собой чистую трансляцию; векторный индекс k написан для того, чтобы отметить, что RL(k) удовлетворяет равенству (39.2). Набор всех элементов очевидным образом составляет группу, являющуюся подгруппой группы ?. Эта подгруппа может оказаться тривиальной, состоящей только из элемента {е|0}, однако часто это не так. Предположим, что эта подгруппа нетривиальна, и будем обозначать ее символом ?(?)> где
Z(k) совокупность {е|/??,(&)}. (39.4)
Тогда по отношению к допустимым неприводимым представлениям все матрицы, представляющие элементы группы
Неприводимые представления пространственных групп % 101
$(ft), равны, согласно (39.3), единичной. Набор матриц /)(*)<т>({е|1??(й)}) представляет собой ядро представления.
Определим представителей смежных классов абелевой факторгруппы Z/Z(k) согласно разложению
?==?(ft) + {e|*Ls(ft)}3;(ft) + ••• +{e|*Li(*)}?(*)> (39.5) где _
RLJk), а=1,. ...t, (39.6)
является вектором решетки, не входящим в ?(ft), и будем считать, что группа %J%(k) имеет порядок t. Мы используем обозначение ft (ft с чертой), чтобы отметить, что (39.6) не входит в группу ?(ft). Тогда можно разложить группу ©(ft) на смежные классы по j(ft). Чтобы избежать неудобства в обозначениях, мы запишем это разложение прямо через операторы группы преобразований координат {ф|т} вместо группы операторов (34.7), действующих на функции, так как переход от одной группы к другой выполняется легко. При этом мы получаем
© (ft) = S (ft)+ {«!&., (*)}?(*) + ... +'{е| fc.t(ft)}S(ft) +
+ {*Р/2 | Т2} ^ (*) + {ф/2 | Xh + (*)} ^ (*) + " • "
• • • + К I xh + Щ г (ft) + ... + {Фik I tlfc + Rh (ft)} г (ft). (39.7) Фактор-группа ®(ft)/2(ft) состоит из (4*0 смежных классов: + Р=1(39.8)
Допустимое неприводимое представление группы ®(ft)/?(ft) будет также являться допустимым неприводимым представлением группы ©(ft). Единственное различие между ними относится к тем элементам группы ?(ft), которые входят в ядро (или центр) представления и поэтому эквивалентны тождественному элементу {е 10} группы ©(ft).
В методе малой группы рассматривают группу, гомоморфную совокупности (39.8), а именно группу
П (ft) © (ft)/J (ft), (39.9)
как абстрактную группу из (h-t) элементов и любым обычным методом находят все ее неприводимые представления. Из набора всех неприводимых представлений отбираются для использования только допустимые. Чтобы получить систему характеров для неприводимых представлений группы П(ft) как абстрактной группы, требуется сначала построить таблицу умножения группы.
102 *
Глава 5
Заметим теперь, что набор представителей смежных классов {ч>/в|т/« + */р(% /a=1......lk’ Р=1.........(39.10)
не является замкнутым относительно умножения. Чтобы восстановить свойства замкнутости, следует иметь в виду, что матрица, представляющая любой из элементов группы ?(&), для допустимых представлений удовлетворяет равенству (39.3) и поэтому преобразуется как абстрактный тождественный элемент {е, 10}. Следовательно, закон умножения для (/*¦/) элементов мы определяем таким образом, чтобы обеспечивалась замкнутость, а именно:
{‘Р'а I Т/а + Щ {% I % + = ’ % | Чу + =
= {«1^8(*)}-{Ф^1Чу}, (39.11)
где р, б, е = 1, и
%lay ' К %la ^L(3 ^ ^1 ^9-12)
