Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ставляет собой блочную матрицу с размерами (lm X 1т)> которая показывает, как 1т функций (т) преобразуются при действии оператора преобразования {фр|?р} в 1т функций
Ф^)<т). P=U •• . L-
Рассматривая теперь систему (29.5) из функций, относящихся к вектору k:
1Ы*>(т>.....ф(*)(т), (36.5)
1 т
где (36.5) представляет собой пространство S'*’ (m), предположим, что любой элемент пространства (m' может быть получен следующим образом:
€•> “=к | ¦ »=1...........'*¦ (36-6)
Согласно (36.6), каждый блоховский вектор пространства 2(*<т)(т) может быть построен путем преобразования соответствующего блоховского вектора пространства 2(<!) <т> под действием одного р того же представителя смежного класса {<р<т|то}. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между отдельными блоховскими векторами в ?(*)(т) и отдельными блоховскими векторами в (т). Далее, без потери общности можно считать, что выбор базисных векторов в каждом из пространств ?(*а)(т), ст = 1, ..., s, сделан в соответствии с
(36.6). Напомним, что определение индексов ст и т следует из
(36.2).
При выборе базисных векторов согласно (36.6) можно немед-.ленно выписать блочные матрицы представления D( для
представителей смежных классов в (36.2); получаем
д(*Л) (т) ({фа , Та})а1 == Пт, (36.7)
?>(**) ("')(k'|t„})ia = nm, (36.8)
Неприводимые представления пространственных групп 65
где Пт — единичная матрица порядка lm, а индекс 1 соответствует k\ = ft. Матрицы (36.7) и (36.8) являются единственными отличными от нуля блоками в первом столбце и строке матриц для представителей смежных классов.
Рассмотрим элемент пространственной группы вида
{fa I т0} {q>p I Тр) {фт I тт}-1, (36.9)
где, как обычно, а их соответствуют представителям смежных классов в (36.3). Образуем блочный матричный элемент ох для матрицы, соответствующей элементу (36.9) в неприводимом представлении пространственной группы. Тогда
?)(**) (т> ( {фо | То} | Тр} {фт | Тт} ->)от ==
= S S ?>(**) <«> ({<рв | ха})011 ?>(**) W «Фр | X
|Х V
Х?>(**)(т)({ф,1^}"1к = ?>(**)'<ж)({ч>р|Тр})11. (36.10)
При выводе (36.10) использованы равенства (36.7) и (36.8). Заметим, однако, что блок матрицы с индексами ст=1, т=1 всегда относится к случаю, когда оператор P{v \хр] переводит
пространство 2<*Нт> в себя, т. е. этот оператор входит в группу ©(ft). Следовательно, если элемент {фр|тр} не входит в ©(ft),
то блок /)(**)("»>({<|,р 1 тр})и с индексами ст=1, т=1 представляет собой, разумеется, нулевую матрицу порядка lm. Поэтому
> ( 0, если {фп ItJ не входит в ©(ft),
,У. ' , |г,
С Dy ({фр|тр}), если {фр|тр} входит в ©(ft),
(36.11)
где матрица неприводима.
Так, например, пусть {фр|тр}— произвольный элемент группы ©, а {фа | та} и {фт | тт} — некоторые из представителей смежных классов в разложении (36.2), и пусть {фр | хр) • {фг | тт} принадлежит смежному классу {фа | ха) © (ft). Тогда
- {фр I тр} • {фт I Тт) = {Фа I т0} • {фг J т, J • {е | RL), (36.12)
где {е | R[} — некоторый элемент группы 2. Далее имеем
{фа I та}~* ’ {фр I тр} * {фт I Тт} ~ {ф^ | ' {е I Rl}’ (36.13)
где выражение в правой части представляет собой элемент группы ©(ft). Используя затем (36.4) и (36.11), можно сразу же выписать выражение дляК всех блоков матрицы
96
Глава 5
?)(**) (m) ({фр | тр})эт. Имеем —
D(*>)(«)'({фр | Тр})„ = D<*><*> ({Фа | т,,}"1 • {Фр | хр) • {Фт | тт}). (36.14)
Равенство (36.14) дает решение задачи для всех пространственных групп @, как симморфных, так и несимморфных. Оно выражает матричные блоки, составляющие полную матрицу, через известные для каждого элемента группы @(й) матрицы [)(Ь)(т)ш Тогда матрицу можно легко построить из бло-
ков (36.14), расположив их соответствующим образом в большой матрице.
На этой стадии рассмотрения необходимо подчеркнуть одно важное обстоятельство. В каждом неприводимом представлении ?)(**) «n)f группы О необходимо выбрать один волновой вектор k, которому соответствуют индексы а = 1, т = 1 блока матрицы, и считать этот волновой вектор каноническим волновым вектором k звезды (32.10). Выбор волнового вектора из волновых векторов *k в качестве канонического для данной звезды может быть сделан совершенно произвольно. Однако, после того как вектор k фиксирован, он задает определенное подпространство @(Л) и группу @(й), содержащую конкретные элементы, а также представителей смежных классов. Поэтому выбор k для данной звезды менять нельзя. Важно сохранять вектор k фиксированным в течение всего рассмотрения, хотя он и произволен. Если в качестве канонического волнового вектора выбран какой-нибудь другой вектор k той же звезды, то это лишь приведет к преобразованию подобия для представления D(т), переводящему это представление в эквивалентное. Поскольку мы занимаемся анализом представлений, мы должны рассматривать конкретную форму матрицы ?)(**) («О и блочных матричных элементов типа (33.1) и должны обращать внимание на преобразование подобия.
Процедура, выражаемая равенством (36.14), согласно которой матрицы допустимого неприводимого представления Л^|(т) подгруппы ®(Л) используются для построения неприводимого представления ?)(**) (п») группы @, получила название «индуцирование представления группы с помощью представления ее подгруппы». Она уже давно известна в математической литературе со времен работ Фробениуса и Шура. Более компактные современные описания этой процедуры имеются в обычных учебниках [22], но вывод, приведенный выше в § 26—36, ближе всего следует работе Клиффорда [23].
