Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 37

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 127 >> Следующая

где t — целое число, равное индексу подгруппы ? (Л) группы ?.
Неприводимые представления пространственных групп 105
Полезно резюмировать рассуждения двух последних параграфов. Для нахождения допустимых неприводимых представлений соответствующих каноническому волновому век-
тору k (которые будут затем использованы для построения индуцированных неприводимых представлений ?)(**)(т) группы ©), была построена абстрактная группа П(&). Однако при рассмотрении П(&) как некоторой абстрактной группы возникают как допустимые представления так и запрещенные представления И. Было показано, что последние, являясь непри-
водимыми представлениями абстрактной группы операторов П(й), соответствуют совокупности волновых векторов (40.7), для которых представление D(4)(u) либо неприводимо, либо приводимо. В первом случае.
а в последнем
D(k)(a) ф X 0 (|Х I m)
m
В любом случае главная проблема состоит в том, что если рассматривать группу Il(fe) как абстрактную группу, т. е. как совокупность смежных классов (39.10), замкнутую согласно
(39.11) и (39.12), то возникающие неприводимые представления группы П(Л) только после этого должны быть разделены на допустимые и запрещенные. Вообще говоря, невозможно определить только допустимые представления, за исключением случаев, когда вся совокупность (40.7) стягивается в точку, как, например, для k = (0, 0, 0).
§ 41. Допустимые неприводимые представления /)<*)("»), рассматриваемые как проективные представления
Метод малой группы, рассмотренный в § 39 и 40, требует построения новой группы © (k) /?(Л) = П (k) и определения всех ее неприводимых представлений, чтобы можно было отобрать затем допустимые. Метод проективных представлений, излагаемый в нескольких последующих параграфах, в принципе требует построения проективных, или лучевых, представлений только для уже имеющихся групп, в частности для 32 кристаллических точечных групп. На практике метод проективных представлений включает в себя некоторую дополнительную задачу об определении допустимых представлений ?)(*>("«), так что в большинстве случаев ни один из методов не имеет каких-либо.практических преимуществ. Однако метод проективных представлений имеет принципиальное значение с точки зрения понимания структуры представления! ?)(*Нт) и связи этого представления с исходной
(40.10)
(40.11)
106
Глава 5
точечной группой кристалла ф. Впервые в теории пространственных групп этот метод был использован Дёрингом [33, 35—38]1)-Структура группы ®{k) определяется разложением (36.1). Очевидно, ®{k) является расширением группы $. Поскольку подгруппа S является нормальной подгруппой, мы рассмотрим факторгруппу
® (*)/? = $ (ft). (41.1)
Факторгруппа !P(ft) изоморфна некоторой кристаллической точечной группе Щ. Произведение двух представителей смежных классов в @(fc) имеет вид
К I т' J • {ф IJ TU “ {8 I ^ J • К. I V}’ (41 -2)
где
(41-3)
h + х,к. (41.4)
Здесь RLl — вектор решетки, а Т/ — нетривиальная трансляция, соответствующая оператору Вследствие свойства
ассоциативности умножения (6.7) для элементов пространственной группы векторы решетки взаимосвязаны. Из равенств
(К IЧ) • к I %)) • КI T'v) = (е I *^1 • К, I чЛ • {«p/v I =
= {е I *4 J • (е I v) • {ф/^v I xhj =
= {8 1 й v} • {iVv I 4nv) =
= KK) •({%!%}• К K) =
= К I Xh{ • {8 I *4, v) • (f%v I =
= (e i ч v) • {«41 4) • Kv I %v} =
¦= {e I • Rl^ v + ^v} • {«P/^ | (41.5)
прямым сравнением получим
{e I *h., » + *?я,ц, v) = {e i v + nvl- (41 -6)
Определение величин 1?/, v и RLl следует обозначению, введенному в (41.4). Произведение (41.2), записанное для допустимого неприводимого представления /)(*>("»> ГруПпы © (Л) имеет
') Проективные представления были использованы в применении к физике твердого тела в книге Любарского [49] при исследовании вырождения •лектронных зон. В книге Бира и Пикуса [115] можно найти не только таблицы характеров, но также и матрицы для всех неэквивалентных проективных представлений 32 точечных групп. — Прим. ред.
Неприводимые представления пространственных групп 107
вид
=D,iK”’({«I J) ¦ °и(К, I =
= (ехр - Л ¦ „) П,„ ¦ D<*> м ({„^ | ^J). (41.7)
Введем величину
(Я, ц) = exp — ik ¦ RLk>(i. (41.8)
Тогда (41.7) можно записать в виде
0'«<"({^1ч»-0“,м(Ч1%}) =
= ^.rtn»0»>«({*,jT,w}). (41.9)
Очевидно, для каждой пары представителей смежных классов {‘Р'х I Т/>.}’ {сргц1Тгц} ГРУППЫ ®(k) определена величина г(*> (Я, ц):
г<*> (Я, ц) = exp — ik • HLk u, Я, ц= 1, ..., lk. (41.10)
Следовательно, имеется (lk)2 величин r(ft)(^> й)- Они называются системой факторов.
Рассмотрим теперь точечную группу изоморфную группе SP(ft), элементами которой являются lk поворотов:
фг2, ..., срг^, ..., (fik « $ (k). (41.11)
Они перемножаются по правилу
qv<fV = qV (41л2)
Предположим теперь, что у нас имеется неприводимое представление D(/) группы $. Тогда для этого представления группы $ имеем
о» Ю • DW (<р,„) = D«> (ф,^). (41.13)
Сравнивая (41.9) и (41.13), видим, что матрицы ?)(*)(т), соответствующие U представителям смежных классов | т^| для допустимого неприводимого представления группы <3{k), перемножаются «почти» так же, как матрицы для неприводимого представления ?)(/> группы ф порядка U. «Различие» заключается в численном множителе г(Ь) (Я, ц) присутствующем в произведении (41.9). Другими словами, набор матриц ?)<*Хт> представляет собой почти обычное или векторное представление группы ф. Набор матриц
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed