Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Основная теорема Шура гласит: все проективные неприводимые представления группы ф(&) являются неприводимыми представлениями группы ф*(&), ограниченными на подгруппе sp(ft). Вследствие закона ассоциативности [который можно далее применить к (42.5), чтобы ограничить порядок образующих элементов Лц группы Л] число различных неэквивалентных расширений группы Л с помощью ф(&), задающих различные проективные представления группы ф(&), конечно. Расширение ф*(й) наименьшего порядка, дающее все различные проективные представления группы $(/<:), называется группой представлений или накрывающей группой группы ЯН*)- Любое большее расширение группы на другие подобные группы, как
Неприводимые представления пространственных групп 111
можно показать, дает проективные представления группы !$(&), не являющиеся различными. Определение всех накрывающих групп !$*(&) для всех кристаллографических групп было завершено Шуром. Для всех таких групп имеются таблицы для систем характеров неприводимых представлений [38]. Поэтому мы будем считать задачу определения всех неэквивалентных неприводимых представлений группы $*(&) решенной, так же как и задачу об ограничении проективных представлений группы (k) на подгруппе $(&).
§ 43. Калибровочные преобразования проективных представлений [33]
При нахождении проективных представлений группы $(&) по гоморфизмам группы $*(&) одновременно конкретизируется система факторов проективного представления, а именно система, соответствующая (42.7). Рассмотрим проективное представление группы $(fe), *DV\ такое, что
*?>« > (ф,J *DW> (<P,J = r(A, i*) *?><» (OtJ, (43.1)
а также другое проективное представление связанное
с первым соотношением
*D(I) (Ф, J = clDU) (Ф, J, Я = 1 (43.2)
где сх—константа, равная по модулю единице. Очевидно, если используются матрицы с чертой, то возникает другое проективное представление группы $(&) с системой факторов г(Х, ц):
(Ф, J (Ф, J = г (К ц) (Ф^), (43.3)
где
г (Я, ц) = г (Я, ц) . (43.4)
Говорят, что проективные представления, для которых выполняется соотношение (43.2), связаны калибровочным преобразованием; тогда системы факторов связаны соотношением
(43.4). Такие проективные представления *DW> и *D{i) называются проективно-эквивалентными (р-эквивалентными). Проективные представления группы 5P(fe), не являющиеся проективно-эквивалентными, называются различными представлениями.
В частности, калибровочное преобразование необходимо для проективных представлений, возникающих при ограничении представлений накрывающей группы (k),,чтобы гаран-
тировать действительное соответствие полученных проективных
112
Глава 5
представлений допустимым представлениям D(*)tm> группы $(ft) и, таким образом, допустимым представлениям группы
@(ft). Это означает, что одна из возникающих, задач состоит в нахождении постоянных сх, таких, что
= (43.5)
Более определенно, нам требуется калибровочное преобразование от калибровки (42.7) к калибровке г(к)(к, ц), соответствующей (41.10):
г(*> (X, ц) = г (X, ц) = exp — ik • RL (43.6)
сХц W
Выбор величин стребуемых для выполнения (43.6), разумеется, неоднозначен, однако, для нас это несущественно. Будем считать, что набор {cj, удовлетворяющий (43.6), найден, так что построены допустимые представления группы
®(ft). На практике легче всего получить характеры %(А) (т). Производя некоторые дополнительные вычисления, можно построить также и полные матрицы; недавно опубликованы таблицы таких матриц [38]1).
§ 44. Соотношение между методом малой группы и методом проективных представлений
Чтобы обсудить соотношение между методом малой группы и методом проективных представлений, необходимо сначала сопоставить малую группу П(й), заданную соотношением (39.9):
П (ft) = © (ft)/2 (ft), (44.1)
и накрывающую группу $*(ft), полученную расширением точечной группы
«Р (ft) s © (k)/Z. (44.2)
Простейший и наиболее прямой путь сравнения двух групп
заключается в перемножении представителей смежных клас-
сов, соответствующих элементам точечной группы лежащей в основе построения.
Рассмотрим сначала группу n(ft); воспользуемся соотношением (39.11). Для П(й) имеем
= <44-3)
где
Rl, (*) “¦ Ф/а • % + х,а - т,р ^ “(44.4)
') Полные таблицы неприводимых представлений пространственных групц МОЖНО нрйти также в работе Прим. ред.
Неприводимые представления пространственных групп 113
представляет собой вектор решетки, не входящий в группу $(ft). Элемент {е | RL& (ft)}, рассматриваемый как абстрактный элемент, не коммутирует с другими представителями смежных классов группы ©(ft)/$(ft). Поэтому (ft)} не входит
в центр группы II(ft).
Однако для допустимого неприводимого представления D(h)(m) из (39.15) имеем
D«« («) ({е | RL& (ft)}) = exp - ik ¦ RL& (ft) Пт. (44.5)
Элементы {e | RL (ft)} являются представителями смежных классов в группе %!%{k), которая представляет собой абелеву группу порядка t, порожденную одним образующим элементом порядка t. Поэтому величина exp — ik • RL& (W) равна корню степени t из единицы.
Хотя {s | Rl& (ft)} не коммутирует с другими элементами группы II(ft) (за исключением чистых трансляций), справедливо соотношение
