Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку неприводимые представления одномерны, сумма (15.7) равна
?-1 = 1*1 = m (2N2) (2N3), (24.1)
г=1 ж
причем последнее равенство следует из того, что для абелевой группы число классов определяется равенством
r = (2N1)-(2N2)-(2N3) (24.2)
и равно числу элементов группы.
Поскольку D(fe) одномерны, матрица и ее характер совпадают: /)(*> = %<*>. Поэтому из (15.8) имеем
Z °{к) «е 1Ъ» ^({в 1^}) - Шехр-i(k /?,) =
г, i2 13
I\hh
В (24.3) значения (р\, р2, р3) и (р', р'2, р') следует выбрать согласно (21.6), (22.2) и (22.6), а суммирование по значениям (h, к, к) следует проводить в соответствии с условиями Борна — Кармана, т. е. в соответствии с (4.42) —N,- < l/^ N/. Это суммирование легко выполняется. Для иллюстрации вычислим сумму по //. При этом удобно заменить интервал суммирования на интервал 0 ^ I/ < 2N[. Тогда
2‘v->1 1 _ p-Zniy, (2IVJ
Z exP ~ (2я*уА) = —;—.-ши, • ' (24-4>
1
где
<24-5>
Изменение интервала суммирования на результат не влияет. Функция, стоящая в правой части (24.4), исчезающе мала, за исключением случая, когда величина^ равна целому числу:
01=0*1.
(24.6)
76
Глава 4
Тогда эта функция равна • (2jVi). Тройная сумма (24.3) определяется произведением трех таких сомножителей, так что
I D(h) ({е 1 RL}) ({е | /?^})* = (2N,) (2N2) (2N3) A (k—k'). (24.7)
В (24.8) Вн — вектор обратной решетки. Но так как мы специально ограничили разрешенные значения вектора k областью внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна, вектор Вн = 0 (два вектора, различающиеся на вектор обратной решетки, определяют эквивалентные неприводимые представления, из которых следует брать лишь одно). Очевидно, функция
(24.4) в пределе N\ -> оо, N2->оо, N3-+00 совпадает с дельтафункцией; при достаточно больших Nь N2, N3 можно считать, что погрешности малы. Таким образом, мы доказали (15.8).
Проверим теперь для представлений Dw свойство (15.9). Равенство (15.9) записывается в виде
Выполним теперь суммирование по разрешенным значениям (р 1, Р2, Рг), определенным формулами (21.6), (22.2), (22.6). Используя результаты (24.3) и (24.7), можно непосредственно выписать результат
I ({е I Яг}) DW ({е | RM}) = (2N{) (2N2) (2N3) A (RL+ RM), (24.10) k
Дельта-функция (24.11) относится к пространству кристалла или конфигурационному пространству. Следовательно, чтобы (24.10) было отлично от нуля, должно выполняться условие
Функция A(ti) обладает свойством [4]
( 1 при Tj = 2лВн,
(. 0 в остальных случаях.
(24.8)
*
Pi (/1 + mi) 2Ni
Рг (h + m2) 2 N2
Рз (h + W3) 2N3
) • (24.9)
PiPiPi
где
1 при г = 0,
0 в остальных случаях.
(24.11)
Rl— — Км-
(24.12)
Однако (24.12) просто означает, что в подгруппе ?, рассматриваемой как группа, элементы {e|/?i} и {e|/?Ai} должны пред-
Неприводимые представления группы трансляций
77
ставлять собой обратные классы. Действительно, так как каждый элемент {e|/?z.} является единственным элементом в своем классе в группе ?, класс, обратный классу {e|#z.}> включает единственный элемент {e|/?z.}-1 = {е| — Rl}. Таким образом, мы доказали справедливость (15.9) для
§ 25. Неприводимые векторные пространства группы ?. Елоховские векторы
Обратимся теперь к линейным векторным пространствам в которых заданы неприводимые представления D^k\ группы ?. Векторы, образующие это пространство, являются функциями, которые обычно называют блоховскими функциями.
Каждое неприводимое представление Dw группы ? одномерно, поэтому отдельная блоховская функция или блоховский вектор образует соответствующее неприводимое линейное векторное пространство Пусть — блоховская функция.
Тогда из (14.5) имеем
Р{г | = ?><*> ({в ] Яд}) = exp - ik ¦ (25.1)
Равным образом из (12.5) получаем
Р{е | (г) = ({е | Rl}-1 • г) =
= ({е | - RL}. г) = ф<*> (г - Rl). (25.2)
Следовательно, для блоховской функции имеем
¦ф<А) (г — Ri) = exp — ik • RI$<-f,) (г). (25.3)
Поскольку каждая блоховская функция образует неприводимое векторное пространство для группы ?, каждая из (2Л^) • (2Л^)Х Х(2Л^3) функций линейно-независима от остальных. Это очень важное свойство, которым мы вскоре воспользуемся. Заметим, что на этой стадии рассуждений существование блоховских векторов было постулировано на совершенно общих теоретикогрупповых основаниях. До сих пор этот вектор не связывался с конкретным дифференциальным уравнением или уравнением в частности производных, описывающим динамику какой-либо физической системы.
Для получения блоховской функции г|з(й) из произвольной функции W можно использовать оператор проектирования (16.3) группы ?. Мы знаем и имеем все необходимое для построения и использования такого оператора. В данном случае все неприводимые представления одномерны, и, следовательно, подставляя одномерную матрицу, т. е. комплексное число в (16.3)
78
Глава 4
мы получим для оператора Pik):
p(ft)==T ? ехР (- ik- ЫРц*!)- (25.4)
С**}
Легко убедиться, что _
р<*>чг = ф<*> (25.5)
и что для функции определенной равенством (25.5), имеет место соотношение
P{*iRL]^k) = DW({E\RL})V*\ (25.6)
как и следовало ожидать.
Быть может, полезно подчеркнуть, что оператор Р{е|^| можно использовать для проверки того, что является бло-ховским вектором и для определения его волнового вектора k по матрице D(k) ({е | RL}) = exp — ik ¦ RL. И наоборот, функция,
