Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 28

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 127 >> Следующая

умножающаяся на D<ft| ({е |/?L}) при действии оператора Р{е|/г^},
является блоховским вектором с волновым вектором k.
§ 26. Прямое произведение в группе ?
Проиллюстрируем теперь теоремы (17.4) — (17.6), относящиеся к понятию прямого произведения. Так, если является блоховской функцией, образующей инвариантное и неприводимое пространство a образует пространство то их произведение
^(*). (26.1)
образует пространство Но из соотношений
Р{г I • ?k”> = DW ({е | RL}) DM ({e | RL}) = (26.2)
= exp — [i (k + k') • /?_?_] 'ф(*) • ¦ф(*') = (26.3)
= Д(*®*0({8 | /??.» (26.4)
следует, что также является неприводимым простран-
ством. Таким образом, волновой вектор k -\-k' или равен волновому вектору из первой зоны Бриллюэна, или же эквивалентен (отличаясь на 2яВн) волновому вектору из первой зоны Бриллюэна.
Коэффициенты приведения для прямого произведения в группе 3; особенно просты: лишь один из них, соответствующий разрешенному значению k -\- k', отличен от нуля, т. е.
® *') __ ?(*+*'> как следует из формул (17.4), (17.5).
ГЛАВА 5
Неприводимые представления и векторные пространства пространственных групп
§ 27. Введение
Данная глава, включающая § 27—51, является одной из наиболее важных глав, всей книги. В ней излагается общая теория неприводимых, представлений пространственных групп. Рассматриваются как случай симморфных, так и случаи несимморфных групп. Излагаемый здесь материал применим к любой системе многих тел, обладающей симметрией пространственной группы; с другой стороны, любая такая система, инвариантная относительно группы преобразований, образующих пространственную группу @, обладает свойствами, согласующимися с неприводимыми представлениями группы ®.
В дальнейшем изложении мы прежде всего будем считать, что нам известны неприводимые представления группы @, и установим целый ряд свойств этой матричной группы. При этом главную роль играет тот факт, что 5 является нормальной подгруппой @. Вследствие этого блоховские векторы i|)w, являющиеся базисными для неприводимых представлений группы ?, можно использовать всюду в качестве составляющих элементов для неприводимых представлений группы @. Неприводимые представления © заданы в пространстве, образуемом совокупностью s блоховских векторов • ••> Набор из
s волновых векторов {k, k2, ..., ks} , соответствующих этой совокупности, образует звезду *k. При этом имеются две возможности: либо s — р, либо s<p, где р — индекс подгруппы ? группы © (т. е. порядок факторгруппы ©/?).
Первый случай соответствует звезде общего типа; рассмотрение таких представлений оказывается простым.
Второй случай соответствует звезде специального типа, и при его рассмотрении проявляются новые особенности неприводимых представлений пространственных групп. Рассмотрение звезды специального типа приводит к понятию пространственной группы волнового вектора 4, 0(4), и к задаче о неприводимых представлениях группы ®(k). Допустимые неприводимые представления группы ©(&) индуцируют неприводимые представления группы ®. Построив неприводимые представления группы ©, мы проверим для них соотношения полноты и ортонормнровац-нодти. - *
80
Глава 5
Математическая сторона теории, разработанная Клиффордом [23, 29] и связанная со структурой группы © или ©(?) как расширения группы ? при помощи [или $(&)], будет рассмотрена в § 36. Читателю, интересующемуся в основном более абстрактными аспектами теории, можно рекомендовать прочесть сначала § 36, а затем вернуться к § 28—35. Согласно нашему опыту, принятый нами несколько более индуктивный характер изложения оказывается предпочтительным для физиков-теоре-тиков и экспериментаторов, которым и адресована эта книга [26, 28, 30—32] ').
§ 28. Неприводимые представления !>(**)(т) группы ©
Необходимо ввести некоторые обозначения. Символ
?)(**)<*> ({ф [ / (ф)> (28.1)
используется для обозначения матрицы, соответствующей элементу {ф| /(ф)} в неприводимом представлении группы ©, обо« значаемом символами (*k)(tn). Эти символы подробно поясняются ниже. Для любого неприводимого представления [т. е. для заданных (*&)(/п)] матрицы (28.1) должны Перемножаться так же, как элементы группы, т. е., например,
?><**) <*> ({ф, 11 (ф,)} • Д(**> М ({Фп 11 (Ф„)}) =
= /)(**) (») ({ф,ф„ | Ф/ ¦ t (ф„) + / (Ф/)}). (28.2)
Предположим, что неприводимое представление имеет размерность
dim ?>(**) <m> = (s • lm). (28.3)
Тогда в неприводимом линейном векторном пространстве Е(**)(ш) имеются (s-lm) векторов, образующих базис представления ?)(**)(т).
Здесь следует подчеркнуть, что для понимания последующего важно ясно представлять себе следующие математические понятия:
а) пространственная группа ©, состоящая из операций преобразования координат (ф|/(ф)}, и изоморфная ей пространственная группа ©, состоящая из операторов Р& 11 (ф)ь действующа, их на функции;
б) матричная группа (т), образующая матричное представление (в данном случае неприводимое) группы @;
•) Полные таблицы неприводимых представлений пространственных групп
можно найти в [17* 119].— Прим. ред.
Неприводимые представления пространственных групп 81
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed