Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В(*Нт)г (41.14)
являющихся отображением элементов группы $ (k):
Д(А)(т)(Ыч})-чч>
108
Глава 5
образует лучевое (проективное, или нагруженное) представление абстрактной группы $ с системой факторов г(А) (к, (х) [33],, если умножение в группе $(&) определено равенством
4V «Р/,, = 4V (41Л6)
и закон умножения для матриц имеет вид
Д|В|”ЧКЫ);Д,м,"ЧК1ч))=
= г»Ч*,й) с'*’(41.17)
где (А,, ц) = 1, причем
r<*> (A,, p.) r<ft) (Ajo., v) = rw(A,, ^v)r(A)([i, v). (41.18)
Остается показать, что для системы факторов r<ft)(A, ц.), определенной соотношениями (41.8) и (41.10), выполняется равенство (41.18). Из (41.18) имеем
г<*> (Л, (х) • г«*> (Лц, v) = exp — ik ¦ (RL^ + RL^ v), (41.19)
что равно
exp - ik ¦ (fp^ • J?^v + (41.20)
если использовать (41.6). Но так как, согласно (34.7),
(k.%x) = ^-k = k + 2nBH, (41.21)
то (41.20) можно переписать как
ехР ~ ik • v + RLKt J (41.22)
и затем записать (41.22) в виде
(A, p,v) r<*> v), (41.23)
что и доказывает (41.18). Следовательно, набор из l\ величин г(4)(^> Iх) обладает свойствами системы факторов неприводимого проективного представления кристаллографической точечной группы $(ft).
§ 42. Проективные представления группы ф(?). Накрывающая группа $*(&) [33]
Теперь наша задача состоит в том, чтобы определить те^ неприводимые проективные, или лучевые, представления кристаллографической точечной группы ф(й), которые имеют правильную систему факторов г(4)(А,, ц). Чтобы произвести такЪй выбор, необходимо сначала получить и рассмотреть все неприводимые проективные представления группы $(?). При этом может оказаться, что некоторые из них уже обладают необходи-
Неприводимые представления пространственных групп 109
мыми свойствами; более вероятна ситуация, когда для получения правильной системы факторов требуется выполнить калибровочное преобразование. Поэтому необходимо построить теорию проективных, или лучевых, представлений группы sp(ft). Для сохранения последовательности в обозначениях мы будем обозначать элементы группы $(?) символами, принятыми и в (36.1) и (41.11). Однако теория, которая будет построена, имеет общий характер и применима к проективным представлениям любой конечной группы Калибровочные преобразования рассматриваются в § 43.
Следуя Шуру, предположим, что имеется группа $*(&), называемая группой представлений или накрывающей группой группы Свойства $*(?) рассмотрены ниже. Пусть $*(k) является расширением некоторой абелевой группы А с помощью группы таким, что группа А представляет собой нормальную подгруппу группы $*(?); А содержится в центре1) группы $*(?), таким образом,
5р*(Л)/Л«$. (42.1)
Пусть группа А имеет порядок пг, так что порядок каждого элемента группы А ^ т. Обозначим элементы группы А следующим образом:
А: Еи А2, ..., Ат. (42.2)
Тогда для всех элементов группы $*, согласно определению центра группы, имеем
AkfPin = Ф ixAk, (42.3)
где Ak — произвольный элемент группы А, — любой из элементов группы $*. Предположим, что у нас имеется такая группа $*, и мы выполним ’разложение на смежные классы по Л:
%* = А + Ф12А+ ... +Ф ikA, (42.4)
где Ф/х представитель смежного класса из группы $*/Л. Представители смежных классов в (42.4) выбираются так, чтобы они соответствовал» элементам группы $(&). Для произведения двух представителей смежных классов имеем
ФЛ = (*. И) = А (X, ц) Ф1М1, (42.5)
где мы использовали равенство (42.3) и А (X, ц) = А^ — некоторый элемент группы А.
') Множество всех инвариантных элементов группы G составляет подгруппу группы G, называемую центром группы G (см. [118], стр. 72).— Прим. ред. у
110
Глава 5
Пусть — обычное неприводимое представление группы (k); тогда из (42.5) следует
*Z)«> (Ф. ) *?></> (Ф, ) = *?><'> (Ф^) *?)<« (Л^) = *?)<« (Л^)*D<» (Ф^).
(42.6)
Однако, поскольку Л^ принадлежит центру, для фиксированного элемента Ащ и при любом Фг^ из (42.3) получаем
*?><« (Л**) *D (Ф^) = *?><'> (Ф/ч) *?)</> (Л**). (42.7)
Но представление *D(/) неприводимо; следовательно, согласно лемме Шура,
*/)<'> (Лац) = г (к, ц) • П/, (42.8)
где П,- — единичная матрица порядка //, a r(X, ji)—константа. Далее, так как группа Л абелева, то |г(Х, | = 1. Поэтому, если мы действительно имеем какое-либо неприводимое представление группы $*, то оно обладает свойством '
*?></> (ф, J *?)(/) (ф^) = г (К, ц) *?)(/) (ф^). (42.9)
Это именно то свойство, которое необходимо, чтобы можно было рассматривать *D<-,"> как проективное представление группы $(ft), так как вследствие ассоциативности умножения в группе Ф*(&) величины г(Х,ц) представляют собой набор, удовлетворяющий условию (41.18). Разумеется, чтобы соотношение (42.9) для Sp(ft) не было трийиальным, требуется, чтобы г(Х, (а)=^1. Это в свою очередь требует, чтобы группа не представляла собой полупрямое произведение группы Л на Р, но являлась расширением более общего типа. Это означает, что если бы группа SP* оказалась полупрямым произведением, то в (42.5) произведение двух представителей смежных классов снова было бы равно представителю смежного класса, но не помноженному на элемент группы Л. В случае расщепляемого расширения в (42.5) все ЛХц = Е и г (А,, ц,) = I.
