Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
{'' \ (*>}' К» IЧ=К IЧ ¦ {'1 к ¦ \Щ- (44'6)
Соотношение (44.6) выполняется для абстрактных элементов. Для допустимого неприводимого представления D(A) (m) должно выполняться равенство
D<‘>({.| . Rl& (ft)}) = (exp - ik. (Ф-; • rl (ft)))nm =
= (exp - i (<р,вр . ft) • Rl& (ft)) П„. (44.7)
Но из определения группы ©(ft) имеем
<Ргар • ft = ft + 2лВн, (44.8)
поэтому
DW <m) (81 tp-i . Rl (?)}) = exp - ik ¦ Rl (ft) = ?<*> <*> (|e | Rl (ft)}).
“P 6 ' (44.9)
Далее, используя (44.3), (44.6), (44.9), для представления получаем
^)(m)(Kl4})-D(A)(,n)(KI%})=
- D{k) о* ({г | RLe (ft)}). DM.M ({ф/ар |т„р}) =
= № <"> ({Ф,ар | тар}) • ?<*><"> ({e | RLe (ft)}). (44.10)
Следовательно, в представлении - матрицы D(A)(m>({e|
Rl^ (ft)}) принадлежат центру матричной группы, поэтому,
114
Глава 5
согласно лемме Шура, поскольку DW образует неприводимое представление группы П(Л), эти матрицы являются скалярными постоянными величинами, помноженными на единичные матрицы. Эти постоянные приведены в (44.5).
Таким образом, мы видим, что матрицы допустимых неприводимых представлений Z)(A) (т) малой группы образуют проективное представление абстрактной группы $ или $(ft), система факторов которого имеет вид
(а, Р) = exp — ik • RL& (ft). (44.11)
Сравним теперь равенства (44.3) и (41.2). Ясно, что RL (k) в
(44.3) равно /?? в (41.2). В обоих случаях трансляции
одинаковы, если не учитывать различия в обозначениях. Поэтому система факторов (44.11) действительно соответствует системе
/-<*> (а, р) = exp — ik • R, (44.12)
р
Сравнивая (44.12) с (43.6), видим, что это соотношение действительно определяет каноническую калибровку, требуемую для проективных представлений группы $. Поэтому допустимые неприводимые представления Dw (m) группы П (к) являются проективными представлениями группы $, имеющими требуемую каноническую калибровку, соответствующую волновому вектору k.
В таком случае группу П(ft) = @(ft)/$(ft) можно рассматривать как расширение абелевой группы Z/Z(k) с помощью группы $(ft). Элементы $/?(ft) не входят в центр расширенной абстрактной группы, хотя в матричном представлении со-
ответствующие им матрицы входят в центр матричной группы. Действительно, если рассматривать II(ft) как расширение ?/$;(ft) с помощью $(ft), то легко понять, что совокупность элементов
{elflz.a(% 0=1,...,/ (44.13)
является циклической нормальной подгруппой порядка t группы П(й). Поэтому неприводимые представления группы ?/?(ft) представляют собой корни степени t из единицы. Следовательно, если образующим элементом группы ?/$(ft) является элемент
{е| Х^Щ, (44.14)
то все неприводимые представления группы Z/X (к) имеют вид
D ({е | RLa (ft)}) = exp — 2nip/t, p = 0, .. ., / — 1. (44.15)
Для данного ft, как правило, имеется только одно значение р, совместимое с соотношением
ехр — ik • Rl^ (ft) = exp — 2nip/t.
(44.16)
Неприводимые представления пространственных групп 115
Следуя в точности методу, изложенному в § 36, 37, можно использовать все неприводимые представления (44.15) группы %/Z(k) для построения индуцированных неприводимых представлений группы П (к). Очевидно, допустимое представление ?)W(m) группы П(/г) индуцировано с помощью того представления группы ?/?(&), которому соответствует правильное значение р, определяемое из (44.15). В таком случае ясно также, почему запрещенное представление Dw соответствует набору волновых векторов (40.7). Это представление D{k) ^ индуцировано с помощью иных представлений, чем те, для которых р определяется соотношением (44.15). Это доказательство дополняет прямое доказательство, приведенное в § 40.
Напомним, что, согласно теории Шура, расширение наименьшего порядка $ * (k) абелевой группы А с помощью группы ф является накрывающей группой, если полный набор неприводимых, не ассоциированных и не p-эквивалентных проективных представлений группы ф можно получить путем ограничения всех векторных представлений *D группы $*(к). По этой терминологии группа П(к) представляет собой «достаточно расширенную группу». Ее неприводимые векторные представления при ограничении включают в себя все неприводимые проективные представления группы ф(к), однако эти представления входят более одного раза, с различными, но ассоциированными системами факторов. Это и понятно, так как переход от канонического волнового вектора k представления к какому-либо другому вектору, входящему в набор векторов, полученных из вектора k, соответствует просто калибровочному преобразованию с системой факторов вида exp — i (р — р') к • RL (k), равных по модулю единице.
Резюмируем: группа $*(&) является накрывающей группой, неприводимые векторные представления *D которой дают при ограничении все неприводимые не p-эквивалентные проективные представления группы ф. Эти ограниченные представления, чтобы получить из них допустимые неприводимые представления в общем случае требуют калибровочного преобра-
зования. Допустимые неприводимые представления Dw (m) группы П(?) являются одновременно проективными представлениями группы с правильной системой факторов.
