Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
5С(,) ({ф 11 (ф)>) = D^l) ({ф 11 (ф)})пп>
П
ТО
ЕЬсОДО» \2 = gpN,
1=1
где {е| 0} — единичный элемент группы, a gpN— порядок группы ©. Обозначим произвольный элемент класса (5* как С*, а произвольный элемент обратного класса Ф-1 как С%\ и пусть
(15.6)
(15.7)
(15.3)
(15.4)
56
Глава 3
число элементов в классе ©*• равно с*. Тогда
i cktl) (Ck) Х(Г) (С*)' = gpN6lt'. (15.8)
ft=i
Наконец,
2 сд1'1 (с,) х"1 (с,) — g„m,,(15.9)
Формулы (15.7) — (15.9) соответствуют хорошо известным результатам теории конечных групп. Отметим, что эти формулы, разумеется, справедливы для всей группы в целом: суммирование ведется по всем неприводимым представлениям I или по. всем классам k группы @. Формулы, подобные (15.7) — (15.9), применимы также к подгруппе группы @, если только она рассматривается как целое, т. е. как группа, имеющая свои собственные классы, и т. п.
В заключение напомним теорему Машке: любое представление конечной группы либо неприводимо, либо вполне приводимо (разложимо).
В последующем изложении мы будем обозначать систему функций, образующих неприводимое линейное векторное пространство, являющееся базисом неприводимого представления Dw группы @, как
= .... фЮ ..., Щ, (15.10)
где I—размерность представления DW.
В дальнейшем, если специально не предполагается противоположное, будем считать, что совокупность базисных функций
(15.10) образует ортонормированную систему, т. е. определено соответствующее скалярное произведение, такое, что
(Om') = 6mm'V> (15Л1)
где D[l), D(r) (I ф I') — неэквивалентные неприводимые пред-
ставления. Обычно
(^т> ОД = S d3f^m (Г)* ¦Фя? (г)‘ (15.12)
Поскольку мы считаем, что выполняется соотношение (15.11),
можно ограничиться рассмотрением унитарных неприводимых представлений D
n д(0+= /)(/)-’ (15.13)
цли
рЦ)*^риг\ (15.14)
Неприводимые представления и векторные пространства
57
§ 16. Идемпотентиые операторы преобразований
Чтобы найти полный набор неприводимых представлений группы ®pR, можно действовать систематическим образом, используя алгебру группы © над комплексным полем [3, 22]. Таким методом можно выполнить приведение или разложение этой алгебры на прямую сумму простых двусторонних идеалов1). При разложении возникает gpN операторов обла-
дающих свойством
*= Р^Ъц'Ь™. (16.1)
Свойство (16.1) является основным свойством приведенной ал-, гебры. При полном разложении алгебры операторы рЩ полностью определяются через линейные комбинации базисных элементов 1 / (<р)} группы ©Рд. Отсюда следует, что
Я{, м (,Л = Z DU> (fa 11 (ф)}) (16.2)
и'
так что набор операторов P^,v можно использовать для нахождения матриц DW неприводимого представления. Набор алгебраических величин рМ обладает рядом взаимосвязанных свойств, позволяющих проверить правильность их нахождения. Следует подчеркнуть, что полное определение набора Р{Ц является чисто алгебраической задачей, разрешимой для конкретной структуры группы © как в принципе, так и практически.
Более общепринятым [23], хотя, быть может, и более трудным, является обратное построение. Сначала находят все матричные неприводимые представления Dгруппы ©. Затем образуют операторы Ртп вида
Е <16-3>
{ф 11 (4>)J
Полный набор таких операторов выражает разложение алгебры на прямую сумму простых двусторонних идеалов.
В обоих случаях операторы служат для нахождения
соответствующим образом симметризованных функций г]^ (т. е. являющихся правильными линейными комбинациями). Пусть 4я (г) — произвольная функция. Тогда
(16,4)
¦)' С понятием двусторонних (правых, левых) идеалов алгебры можно познакомиться, например, в книге [116], стр. 272—280.— Прим. ред.
58
Глава 3
представляет собой функцию, принадлежащую строке ц и столбцу v линейного векторного пространства. Это пространство замкнуто, неприводимо и является базисом неприводимого представления Z)<z> группы @. Можно заметить, что для полного использования свойств операторов Р$ необходимо характеризовать проектируемые ими функции как индексом строки, так я индексом столбца в соответствии с индексами операторов идеала. При фиксированном ц (или v) набор I функций с v (или ц)=1, ..., I образует компоненты неприводимого векторного пространства.
Используя характеры неприводимых представлений группы, можно построить более слабый набор операторов проектирования, чем (16.3). Операторы
I у}1) ({ф 11 (ф)})’ Р{у [*<,)} (16.5)
©
имеют свойство
рюлр = (16.6>
Это означает, что Р(г) дает функцию, принадлежащую неприводимому представлению I, независимо от номера строки. Функции в общем случае представимы в виде суммы функций, являющихся базисными для разных строк неприводимого представления D<-lK Если имеются только характеры, а не полные
матрицы представлений, часто удается построить лишь слабые
операторы проектирования. Однако в принципе при достаточном усердии можно построить как слабые, так и сильные операторы проектирования, используя прямые алгебраические методы, описанные в работах [3, 22].
§ 17. Прямые произведения
а. Прямые произведения представлений. Пусть векторное пространство 2<г), определяемое согласно (15.10), является базисом представления Dil) группы ©, и пусть система I' функций {'фд'}, образующих линейное векторное пространство 2(Г), является базисом представления D(r) группы ©. Тогда набор
