Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
DW(R)®D«'HR) = UA(R)U*. (18.16)
Элементы матрицы А обычно записывают как Arv, j„v„, где
Vv'',rv' = V/''^'. (18-17)
Если (//'|/")>!, то удобно (без какой-либо потери общности) записывать А в такой форме, чтобы ?>(Г) входили в А в виде
Неприводимые представления и векторные пространства
65
последовательных блоков, т. е.
(18.18)
где у = 1, •••¦ Щ'М").
Уравнение (18.16) можно переписать в виде
или
J у V V
Сравнивая (18.19) и (18.15), видим, что
(
)
(18.20)
и что коэффициенты Клебша — Гордана являются элементами унитарной матрицы, выполняющей приведение По-
видимому, полезно отметить, что матрица (18.20) имеет несимметричные значки, так как строки матрицы U имеют индексы, соответствующие прямому произведению матриц [это видно из
(18.16)], тогда как столбцы нумеруются индексами, относящимися к приведенной матрице, т. е. индексами отдельного неприводимого представления и индексом кратности. В полностью приведенной форме матрица Д имеет блочный вид
б. Вычисление коэффициентов Клебша—Гордана. Нетрудно получить еще одну форму уравнения (18.15), позволяющую вычислять коэффициенты Клебша — Гордана. Умножим обе части
(18.17) на DiJ"} (R)*v,v,t просуммируем по R и используем ортогональность неприводимых представлений. Тогда получим
?<‘> (R) ...
Д(Д) =
... ...
(18.21)
= ? D«"> (RYV,V, DM (*)v, D<n (tf)vV, (18.22)
R
66
Глава 3
ИЛИ
Рассмотрим сначала случай (ll'\l")=l. При этом
(18.24)
Если положить в (18.24) v = v, v'= v' и x" = x", то можно определить, какие из коэффициентов отличны от нуля. Отыскав отличный от нуля коэффициент, скажем при v=.v0, v' = v' и х" = v", можно выбрать его фазу так, чтобы он был вещественным, затем фиксировать v = v0, v' = v' и x" = x" и далее рассмотреть все возможные значения v, v' и х". Такая процедура
дает всю матрицу коэффициентов Клебша — Гордана для тп1"\____1
Для (//'| /") >> 1 систематический метод нахождения всех (//" j /")наборов коэффициентов был предложен Костером [24]. Заметим, что выражение, входящее в левую часть уравнения
при фиксированных значениях v, v' и v" является линейной комбинацией коэффициентов Клебша — Гордана. Но так как любая линейная комбинация также является правильной, можно отдельно вычислять'величины
до тех пор, пока мы уверены, что матрицы, получаемые для у и у', ортогональны.
Следовательно, мы можем поступать так же, как в случае (I l'\ I") = 1, находя отличный от нуля коэффициент, фиксируя v = v0, v' = v' и v" = v" и придавая v, v' и x" все возможные значения. Это дает матрицу коэффициентов Клебша — Гордана для y = 1- Выберем теперь v0, х'0, v'0', не совпадающие с первой тройкой и дающие другие отличные от нуля коэффициенты. Положим v = vo, х' = х'0 и v// = v", и пусть v, V, х" принимают
(/Г| l")= 1.
(18.23):
v
Неприводимые представления и векторные пространства
67
все возможные значения. Это дает второй набор коэффициентов, который можно ортогонализовать по отношению к первому. Эту процедуру можно продолжить до получения всех (И'\Г) наборов коэффициентов.
в. Преобразование коэффициентов Клебша—Гордана. Для
последующего рассмотрения полезно показать, как преобразуется матрица коэффициентов Клебша — Гордана при преобразованиях подобия представлений D(/), D<r) и D{l"K Пусть А — унитарная матрица; тогда
D(l) = AD(t)A~\ Din = A'DinA'~\ D<n = A"DinA"~l • (18.25) Преобразованные базисные функции при этом имеют вид
«p-g-*?!'•?’. = <'«•*»
Если матрицу коэффициентов Клебша — Гордана в исходном базисе функций {i|}} обозначить для простоты как ?/(г®г>, а для преобразованного базиса {ср} как К(г®П, хо МЬ1 получим
Фр=X =Z a;,;! g =
(18-27)
ЛрЛр Л> цц
Но -
Ф(П= V у(Г®П фШф(П • (18.28)
V' ни'. г>'' м. V ’
так что
(18.29)
или
V = (A® A)UA"-\ (18.30)
г. Метод операторов проектирования. Еще один метод получения коэффициентов Клебша — Гордана состоит в использовании операторов проектирования. Оператор проектирования Ppv, определяемый равенством
РР» = тТ, D{n Pr, (18-31)
g
R
имеет следующие свойства:
РР^Р = ^Р, (18-32)
(18-33)
PPV,F = $P, (18.34)
68
Глава 3'
где F — произвольная линейная комбинация базисных функций:
Операторы проектирования можно использовать для нахождения базисных функций представлений D(1) затем образовать произведения и далее использовать (18.34) для
проектирования тех линейных комбинаций произведений, которые преобразуются как тр^р. Таким образом, операторы проектирования можно использовать для нахождения коэффициентов Клебша — Гордана. Поскольку в этом методе требуется сначала вычислить базисные функции, проще использовать (18.23), для чего требуется только знание представлений. Однако, если базисные функции известны, операторы проектирования позволяют произвести хорошую проверку коэффициентов, вычисленных с использованием (18.23), так как, согласно (18.32), должно выполняться равенство
F = ZZrt>V>.
1 ц
/ /' I" у У и' у"
(18-35)
ГЛАВА 4
Неприводимые представления группы трансляций кристалла г
§ 19. Введение
В нескольких последующих параграфах (§ 20—25) рассматриваются неприводимые представления группы трансляций кристалла X. Обсуждаются основные понятия: волновой вектор k, блоховский вектор ty(k), зона Бриллюэна, соотношение полноты и ортонормированности для неприводимых представлений, а также прямое произведение неприводимых представлений группы X. Так как X является абелевой группой (точнее, прямым произведением трех более простых абелевых групп), математическая теория здесь очень проста. Однако для обсуждения представлений пространственной группы необходимо изложить этот материал в удобной для нас форме.
