Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 25

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 127 >> Следующая

§ 20. Неприводимые представления группы X
В этом параграфе мы рассмотрим неприводимые представления одномерной группы трансляций Из (4.33) следует, что ?i является абелевой группой с образующим элементом {e|fli}.
Абелева группа имеет столько же классов (S*, сколько элементов, и каждый класс включает один элемент. Таким образом, в ?i каждый элемент {efliai} является единственным элементом своего класса (?/,. Поэтому абелева группа имеет столько же одномерных неприводимых представлений, сколько элементов. Обозначим неприводимое представление группы Si как D(fei). Тогда, поскольку, согласно» (4.41),
{е|в,}ад = {е|0}, (20.1)
должно выполняться равенство
D(fei) ({е | ai}2Af') = D(fei) ({е 10}) = 1. (20.2)
Но
?><*'> ({г | a,}2"') = ({е | а,»]2"' = 1. (20.3)
Следовательно, величина D(fei)({e |ai}) должна быть равна одному из 2Ni корней из единицы:
DM ({в | a,}) = exp — (2jt/pi/2#i),
(20.4)
70
Глава 4
где
/>,=.0,1,2........(2tf,-l). (20.Б)
Более удобно отсчитывать ру иначё, а именно
Pi = -Nu (-#,+ 1), .... 0, .... (Ni- 1). (20.6)
Набор 2N\ возможных значений рi дает в (20.4) совокупность из 27Vi допустимых корней из единицы. Другими словами, (20.6) означает, что рi принимает набор целых значений (20.6) с точностью до 27Vi. Поэтому каждое разрешенное значение р\ эквивалентно значению р\ + 2N\\
р1фр1 + 2Ы1. (20.7)
Эквивалентность pi и pi + 2Ni означает, что эти две величины дают совпадающие значения корня из единицы (20.4) и потому неразличимы. Для еще большего упрощения обозначений мы введем векторную терминологию, основанную на построении обратной решетки.
§ 21. Обратная решетка
По данной тройке векторов ai, а2, а3 в конфигурационном пространстве (§ 4) можно определить [12] тройку обратных векторов Ь1, Ь2, 63, обладающих свойством
а • Ьj = 6/j
Из (21.1) следует
h __ g2 X Дз 1 I «1 • а2 X «3 I
Остальные векторы получаются циклической перестановкой. Обратные векторы 6/ образуют пространство, называемое обратным. Очевидно, что в обратном пространстве можно рассматривать векторы вида
П = У\Ь\ + у2Ь2 + УьЬз, (21.3)
где у,— числа из интервала —оо < у,- < оо.
Вектор вида (21.3) имеет размерность обратной длины, так как, очевидно, эту размерность имеют векторы если компоненты г// непрерывно изменяются в пределах своих интервалов, то. векторы ^ заполняют обратное пространство.
Рассмотрим теперь вектор в обратном пространстве, определенный равенством
Вн = Н\Ь\ + ЬлЬ-2 “Ь ^з&з, (21.4)
где hj — целые числа. Набор всех таких векторов обратной ре-
шетки определяет сетку в обратной решетке. Можно просто
(21.1)
(21.2)
Неприводимые представления группы трансляций 71
считать, что эта сетка или решетка определяется совокупностью точек, соответствующих концам векторов обратной решетки.. В нашем рассмотрении обратную решетку следует считать просто системой точек; как будет показано, с этими точками связаны неприводимые представления группы трансляций Мы не будем использовать теорию нагруженного обратного (или Фурье) пространства, развитую Эвальдом [25].
Можно определить вектор, параллельный вектору Ь\, формулой
<21-5>
где
Pl = -Nu N, 1, ..., Ni 1, (21.6)
a 2jVi определено в (4.41) и (20.1) как размер области Борна — Кармана в направлении Ь\.
Набор таких векторов, компоненты которых заданы рациональными дробными числами, очевидно, образует плотную, но дискретную последовательность. Эти векторы обладают свойством
— (21.7)
Обратим внимание на знак неравенства в правой части (21.7), который обусловлен тем, что все (2jVi) корней из единицы, входящие в (20.4), должны быть независимыми.
Заметим, что эти векторы определены в соответствии с
(20.4) — (20.7) и ограничены в области вблизи начала координат обратной решетки. Чтобы теперь привести вектор (21.4) в соответствие с (20.4), будем считать, что k\ = nb\ и k[ — —jt&i соответствуют одному и тому же вектору.
Поэтому, используя (20.5), можно переписать (20.4) в виде
D{kt) ({е | aj) = exp — ik • щ. . (21.8)
Такая форма одномерной матрицы неприводимого представления группы ?i оказывается очень удобной.
§ 22. Неприводимые представления группы
® == (§) (§) ?3
Очевидно, для группы ?2 можно просто повторить все рассуждения, только что использованные применительно к ?i. Соответственно определим
^w62’ (22Л>
где
I Р2~ — N2, — ^2 1, • • •. — 1, (22.2)
72
Глава 4
и, следовательно,
я&2 < k2 < я62. (22.3)
Поэтому, если обозначить неприводимые представления группы Х2 через D{ki), то
D<*2) ({е | а2}) = exp — ik2 • а2. (22.4)
Наконец, повторяя те же рассуждения для 23, определим
*»-№)*•¦ (22-5)
где
p3=-N3, -N3+l, .... #з-1, (22.6)
и, следовательно,
— я63 ^ k3 < я&3. (22.7)
Обозначая затем неприводимые представления группы ?3
через получаем
' ({е | а3}) = exp — ik3 • а3. (22.8)
Далее, группа $ является прямым произведением групп,
поэтому применимо рассмотрение, приводящее к формулам
(17,10) — (17.12). Соответственно обозначим неприводимые представления группы $ через D(k)\ тогда
D(k) = ?>(*,) ф D(k,) ^ ?)(*,). (22.9)
Таким образом, используя (22.9), можно найти матрицу, соответствующую любому произвольному элементу группы ? и относящуюся к любому из допустимых неприводимых прёдстав-
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed