Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 19

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 127 >> Следующая

50
Глава 3
Последним шагом является разбиение © на смежные классы по ®(k). Далее неприводимые представления группы ®(k) используются для определения неприводимых представлений группы ®. Неприводимые представления группы © характеризуются звездой волнового вектора *k и индексом т допустимого представления Это построение определяет также
структуру неприводимого векторного пространства, в котором задано представление ?)(**>
Все это рассмотрение базируется на предположении о том, что операторы преобразований являются линейными и унитарными (такие операторы возникают при рассмотрении преобразований чисто пространственной симметрии). Для учета симметрии по отношению к обращению времени необходимо рассматривать антиунитарные, антилинейные операторы. Этр операторы задают полулинейные представления, или, как их назвал Вигнер, «копредставления». Структура этих представлений устанавливается и обсуждается в гл. 9.
Изложенная выше методика применима к любой системе, имеющей симметрию кристаллической пространственной группы ©.. Рассмотрение электронов или в общем случае спинорных частиц усложняется вследствие необходимости расширить группу операторов преобразований, чтобы включить преобразования векторных индексов, происходящие, когда блоховский вектор пробегает свои значения в базисном векторном функциональном пространстве (если блоховский вектор не просто скалярная функция, а имеет спинорные индексы). Излагаемый здесь материал допускает такое обобщение.
Читателю, не знакомому с материалом, изложенным в § 12—18, рекомендуется пополнить свои знания, обратившись к учебникам прежде чем продолжать изучение этой
книги.
§ 12. Операторы преобразований функций
Для последующего рассмотрения оказывается необходимым расширить круг используемых понятий, включив в него понятие оператора, преобразующего функцию. По определению {ф|*(ф)}, согласно (6.1), имеем
{ф| t (ф)} • г = г' = <р • г + t (ф). (12.1)
Пусть 1|з(г) — скалярная функция пространственной Переменной г в конфигурационном пространстве. Это означает, что в каждой точке г конфигурационного пространства определено (или известно) значение функции г|>.
¦) Можно также рекомендовать книгу Петрашець и Трифонова' [1161.— Прим. ре0. :¦ / •
Неприводимые представления и векторные пространства 61
Для компактности записи в нескольких последующих параграфах мы будем использовать сокращенное обозначение операторов симметрии {ф|^(ф)} одним символом S, Q, ... . Так, например, {ф|*(ф)}=5 и т. п. Определим теперь оператор Ps, который действует на (т. е. преобразует) функцию г|з, давая функцию Psty- Это означает, что по заданным значениям функции г|з во всех точках конфигурационного пространства г определяются значения функции Psty. Пусть S — оператор симметрии, преобразующий точку г в точку г':
S • г — г', (12.2)
где, разумеется, 5 является преобразованием симметрии пространственной группы типа {ф| ^(ф)}- Определим теперь оператор Ps равенством
/>si|>(r'( = i|>(r), (12.3)
т. е. функция Psty имеет то же значение в точке г', что и функция г|з в точке г. Определение оператора Ps не задает симметрию функции г|э, а просто устанавливает правило для дальнейшего рассмотрения. Уравнение (12.3) можно переписать в нескольких эквивалентных формах:
P*i|>(Sr) = 4>(r), (12.4)
или
Psty (г) = г|э (S~V). (12.5)
Во всех случаях (12.2) — (12.4) следует понимать как соотношения между функциями. Операторы Ps, если не оговаривается специально другое, — это всегда линейные и унитарные операторы.
§ 13. Группа операторов, преобразующих функции
Пусть задана группа преобразований © в конфигурационном или координатном пространстве кристалла. В случае необходимости мы можем обозначить эту группу через ®{Ф | < (Ф)}> указывая с помощью индекса характер операторов, составляющих группу. Для компактности можно использовать для этой группы символическое обозначение ©s (аналогично введенным выше обозначениям).
Согласно определению группового действия, если Р и R входят в группу ©, то
P-R входит в ®s. (13.1)
Но каждому оператору Р, R, S, ... группы ©s можно сопоставить, согласно (12.2) — (12.5), оператор преобразования Рц. Таким способом можно получить совокупность операторов PR,
52
Глава 3
Ps, .... Чтобы показать, что эта совокупность образует группу, заметим, что если
г' = S • г, г" = R • г' = (R - S) ¦ г, (13.2)
то
(Я5ф)г' = ф(г),
(Pr (Ps*)) г" = (PsФ) г' = -ф (г).
Следовательно, функция (Pr(Ps^)) имеет в точке г" то же значение, что и функция г)з в точке г. Рассмотрим, с другой стороны, оператор PRs в применении к функции т|з, такой, что
(Prs$) (г") = Ф И- (13.4)
Тогда
PrPs~Prs> (13.5)
т. е. произведение операторов PRPS можно отождествить с одиночным оператором Prs¦ Из этого следует, что
ре> pr> Ps, ••• образуют группу ©^ (13.6)
и что группы
®R и ®Pr гомоморфны. (13.7)
Согласно только что приведенному выводу, каждому оператору R сопоставляется один и только один оператор PR по формуле
(12.3), поэтому группы ®R и ®Pr в действительности являются изоморфными.
Необходимо, однако, со всей определенностью указать, что при рассмотрении конкретной физической задачи можно поступать иначе. А именно: можно сначала определить операторы преобразования Pr через преобразования функций, а затем показать, что набор PR образует группу ©рЛ. Соответствующие преобразования конфигурационного пространства можно восстановить по операторам PR. В таком случае группа ®Pr может оказаться гомоморфной, а не изоморфной группе @я. Мы частично используем этот подход при обсуждении симметрии гамильтониана решетки. Но наиболее важным он оказывается при рассмотрении частиц, имеющих спин.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed