Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/ • /' функций {"Фа * а=1......U а'=1,...,/', образует
линейное пространство и является базисом представления D{l)®D{r) группы ©. Векторное пространство называется пространством прямого произведения, — пря-
мым произведением представлений. Часто удобно, хотя и не обязательно, брать в качестве D(l) и D(/,) неприводимые представления. В приведенном ниже обсуждении мы будем считать, что определяется именно прямое произведение неприводимых представлений.
Неприводимые представления и векторные пространства
59
Матричные элементы прямого произведения матриц имеют вид {D{l)®DilXn6 = D§-D%\ (17.1)
причем точка в правой части равенства (17.1) означает обычное перемножение двух комплексных чисел D% и Dy&\ В (17.1) подразумевается, что все матрицы соответствуют одному и тому же элементу группы:
(D<'> ® 0<П) ({ф 11 (ф)>) = D" ® г> ({Ф 11 (Ф)> =
= /)<'> ({ф 11 (ф)>) ® /)<''> ({Ф11 (ф)»- (17.2)
Равенство (17.2) дает несколько разных эквивалентных способов записи прямого произведения матриц. Прямое произведение представлений (17.2) также является представлением группы © [1]. Поэтому группа © гомоморфно отображена на группу ({ф 11 (ф)}), так что каждому элементу {<p|f(tp)} соответствует матрица из (17.2).
Всякое представление конечной группы приводимо (теорема Машке) , поэтому (17.2) можно разложить на. сумму неприводимых представлений. Используя определение характера или следа (15.6) и вычисляя след от (17.2), получаем
%0®П | t (ф)}) = %И) ({ф 11 (<р)» х(Г) ({ф I (ф)>) =
= Sp[№®-D«'4to\tte)})]- (17.3)
б. Коэффициенты приведения. Определим теперь коэффициенты приведения для прямого произведения неприводимых представлений группы ®. Обозначим через (И'\пг) ^ 0 число, показывающее, сколько раз неприводимое представление D(m) входит в разложение представления на неприводимые состав*
ляющие. Тогда
D(/®/') = ^0(//'|m)/)(m). ' (17.4)
т
Аналогично для векторных пространств имеем
2<'®П = ?ф(//' |m)2I<m>. (17.5)
m
В (17.4) и (17.5) суммирование следует понимать как определение прямой суммы, на что указывает символ 0:
- д(/в/'> = (//' |1)D(1)0 (//' | 2) D<2>0 .... (17.6)
Ряды вида (17.6) или (17.4) известны под названием рядов
Клебша — Гордана, а числа часто называют «коэффи-
циентами Клебша — Гордана». Мы предпочитаем использовать термин «коэффициенты приведения» во избежание путаницы с обычными коэффициентами Клебша — Гордана (см. § 18).
60
Глава 3
Вычисляя след каждой матрицы в (17.4), получаем
%« ® П ({ф 11 (ф)}) = X {И' I rn) %<т) ({ф 11 (ф)}). (17.7)
т
В (17.7) суммирование производится по всем неприводимым представлениям группы ®, а сумма теперь является обычной арифметической суммой. Коэффициенты приведения можно определить эквивалентным образом, используя соотношения ортонормировки:
(И' I ™) = ? Х(г ® П ({(р 1 # ‘ х<т> ({(() 1 # М»’’ (17<8)
®
где суммирование производится по всем элементам группы ®. Выражение (17.8) можно переписать в несколько более компактной форме
ill' I m) = gV ? скУУ ® п (Ck) %ы (СнУ, (17.9)
р ft
где сумма является обычной арифметической суммой. В (17.9) входят величины с*, определяющие число элементов в классе k\ Ck — типичный элемент класса а также характеры, определенные выше.
Коэффициенты приведения характеров непосредственно используются в физических приложениях. С их помощью получаются правила отбора для разрешенных оптических процессов, процессов рассеяния и др. Одна из основных целей нашей книги состоит в определении коэффициентов приведения для пространственных групп. Как будет показано ниже, формулы (17.4) и (17.7) позволяют определить полный набор коэффициентов (И'\т).
в. Неприводимые представления прямого произведения
групп [20]. При анализе подгруппы трансляций ? полезный ре-
зультат связан с понятием неприводимых представлений внутреннего прямого произведения групп. Группа $ называется внутренним прямым произведением двух групп St и S3:
? = 51®®, (17.10)
если каждый элемент группы ф может быть однозначным образом записан как «произведение» одного элемента из группы St на один элемент из Э:
Hk — At • Bj = Bj ¦ At (17.11)
и все элементы из St и S3 коммутируют. Если Г(а) есть неприводимое представление группы St, а Г(г,) — неприводимое представление группы ©, то неприводимые представления. Г(й) группы <§
Неприводимые представления и векторные пространства
61
определяются формулой
Г<л) _ г(») 0 Г<6> = Г<6) ® Г<а), (17.12)
где а и Ь пробегают все возможные значения индексов (соответствующих неприводимым представлениям) для групп % и 0.
Как станет ясно из дальнейшего, анализ неприводимых представлений полупрямого произведения групп или групп, являющихся расширением одной группы при помощи другой, оказывается значительно более сложным и его не удается свести к такому компактному и простому результату, как (17.12). Этот анализ составляет основное содержание подробного рассмотрения, проводимого в нескольких последующих параграфах.
§ 18. Коэффициенты Клебша — Гордана
В настоящем параграфе завершается анализ, начатый в § 17. Там мы ввели в рассмотрение прямое произведение представлений и, согласно (17.4), коэффициенты приведения. Коэффициенты приведения показывают, сколько раз каждое неприводимое представление содержится в прямом произведении представлений.
