Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 18

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 127 >> Следующая

В совокупности представителей смежных классов в разбиении @/?s найдем всех представителей вида
т. е. комбинации (произведения) представителей из (?/?s) и представителя из ф. Ясно, что присутствуют все такие комбинации. Если индекс подгруппы группы ? равен s, то порядок факторгруппы (S/Zs равен (gp-s), где, как и раньше, gp — порядок группы $. Ниже у нас будет случай использовать именно такое разбиение, как разбиение (10.2).
то
% = Se + {e|*Ai}Se+ ....
ms=№)¦№*)¦
(10.1)
(10.2)
{е1#м} • {фа|т0},
(10.3)
Кристаллические пространственные группы
47
Для симморфных пространственных групп наиболее полезной с точки зрения применения теории представлений является точечная группа
Часто оказывается полезным разложение пространственной группы © на подгруппы, являющиеся в свою очередь пространственными группами. (Например, как было показано в § 9, пространственная группа алмаза о\, являющаяся типичной несимморфной пространственной группой, имеет как подгруппу с индексом 2 пространственную группу цинковой обманки Т%.) Предположим, что пространственная группа ® имеет подгруппу ©а, также являющуюся пространственной группой. Группа @а может включать (или не включать) в себя в качестве подгруппы полную группу трансляций X; для общности предположим, что она не включает X. Пусть Ха— нормальная подгруппа трансляций, входящая в ©а, и пусть элементы ?а равны
Se = {e|fel}, {<Ч*а2}> {е1*аз}, •••; (10.4)
тогда элементы ©а можно записать в виде
©a = 2„, {«Pal * (фа)} К, ¦¦¦, {фР I * (фР)} 2а. (Ю.5)
Поскольку Ха является нормальным делителем ©а, можно построить факторгруппу этой пространственной (под)группы:
©*/?* = (Ю.6)
Очевидно, spa будет подгруппой группы $ = ®/Х. Далее, поскольку ©а есть подгруппа группы ©, можно выполнить разбиение © на смежные классы по ©а:
© = ©«; (г I fal} ©a, • • • , {фр I t (фр)} ©a.{ф01* (Фа)} ©а- (Ю.7)
В (10.7) представители смежных классов включают, как обычно, элементы, входящие в ©, но не входящие в ©а, а также имеется обычный произвол в выборе трансляционной части операторов вида {фр|/(фр)}. Так как группа ©а имеет все обычные свойства групп, то она имеет полный набор классов, возможные подгруппы и т. д.
Рассмотрим элемент {фр]*(фр)}, входящий в группу ©, но не входящий в ©а. Если составить набор элементов ©ь по правилу
{фр I ^ (фр)}-1 * • {фэ I ^ = ©ь, (10.8)
то ©ь окажется пространственной группой, элементы которой можно легко получить из элементов группы ©а. В действительности ©г, также является подгруппой группы © и подгруппы ®а И ®t> являются сопряженными подгруппами группы ©. Если
48
Глава 2
наименьшее число, для которого
{фри(<Рр)}Р = {г|*Л, (Ю.9)
то можно построить ряд сопряженных подгрупп трансформированием элемента {фр | f (срц)} и его степеней. Например,
{фр I * (фр)Г' • ®ь • {фр 11 (фр)} = ©с (10.10)
представляет собой еще одну такую пространственную группу. По каждой из этих пространственных групп можно выполнить разбиение на смежные классы вида (10.7). Часто удобно рассматривать взаимосвязанные разбиения группы @ на смежные классы, т. е. по сопряженным подгруппам. Разумеется, сопряженные подгруппы изоморфны.
Глава 3
Неприводимые представления и векторные пространства конечных групп
§ 11. Введение
Настоящая глава посвящена общей теории неприводимых представлений и неприводимых векторных пространств для конечных групп. Предполагается знакомство читателя с элементарными сведениями из теории представлений конечных групп [1-3]; эти сведения будут кратко изложены (для удобства читателя и для введения обозначений) в § 12—18.
Для установления связи, между функциями и представлениями необходимо ввести в рассмотрение операторы преобразований, действующие в векторном пространстве функций. Рассматриваемая группа операторов гомоморфна, совокупности операторов преобразования координат, составляющих пространственную группу кристаллов.
Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа @ содержит нормальную подгруппу трансляций ?. Поскольку группа ? абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором ft и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений ft заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления D(k) группы X.
Для каждого ft определен набор операторов из группы ©, преобразующих блоховский вектор в вектор с эквивалентным значением волнового вектора ft. Эта совокупность операторов образует группу волнового вектора ft, обозначаемую ©(ft). Она является подгруппой группы ©. Определяются неприводимые представления группы ©(ft). Для этой цели можно использовать два метода. Будет рассмотрен метод лучевых (проективных или нагруженных) представлений, использующий представление структуры ©(ft) как расширения. Кроме того, будет изложен метод малых групп. Среди всех неприводимых представлений ©(ft) допустимыми для наших целей оказываются только некоторые. Будут определены эти допустимые неприводимые представления ?)(*)(т), а тажже соответствующие им векторные пространства.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed