Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Более полный анализ можно выполнить в том случае, когда прямое произведение представлений в виде (17.1) или в виде
(17.2), подобном (17.1), преобразуется унитарной матрицей и при этом приводится к полностью приведенной или блочно-диагональной форме. Матричные элементы унитарной матрицы, преобразующей одновременно все матрицы к приведенной форме, называются коэффициентами Клебша — Гордана. Эти матричные элементы имеют также и другой важный и близко связанный с предыдущим смысл: они являются элементами матрицы, преобразующей пространство прямого произведения [левая часть равенства (17.5)] в неприводимые пространства [правая часть равенства (17.5)]. Другими словами, эти матричные элементы позволяют определить «правильные линейные комбинации» произведений функций (каждое из этих произведений содержит по одной функции из каждого пространства), являющихся базисом для неприводимого представления пространства прямого произведения. Как вскоре выяснится, коэффициенты приведения содержат меньшую информацию.
а. Определение коэффициентов Клебша—Гордана. Напомним еще раз равенство (15.10) и рассмотрение, приведенное в § 17. Пусть
2(г) зз ..., -* D(,) группы ©, (18.1)
Е(Г) = ..., -* D(r) группы ©, (18.2)
..., • • • > ->!>(* ®Г) группы ©,
(18.3)
62
Глава 3
где стрелка указывает на представление, базисом которого являются приведенные функции. Предположим теперь, что (//' 11") = 1. Мы хотим определить единственную систему I" функций, образующих базис представления D(n и являющихся некоторыми определенными линейными комбинациями произведений Если (ll'\ l")> 1, то существует (И'\Г) правиль-
ных линейных комбинаций из набора базисных функций (18.3) и каждая такая линейная комбинация дает линейно-независи-мую функцию ^Ч^Л где у = 1, ..., (И'\ Г), преобразующуюся как базис строки ц" представления D(r). Это имеет мест, когда входит в D1®1’ кратное число раз, а у называют иногда
входящие
(I /' I" Y\
индексом кратности. Коэффициенты ^ , J,
в эти правильные линейные комбинации и называемые коэффициентами Клебша — Гордана или коэффициентами векторного сложения, определены равенством
^ / / /' I" у \
^)V==ZU^ J«:>. (18.4)
ии'
Для (ll'\ Г) эти коэффициенты определяются однозначно с точностью до фазы, т. е. если умножить каждый коэффициент (все ц, ц/ и ii") на одинаковую фазу, то получится то же пространство умноженное на фазу.
Если (И'\ Г)>1, скажем (И'\ Г) = 2, то
Vl
урц:-
)Y2 .
I I' I" Yi Л
\ц\'
-,///' /" ъ\
(18.5)
(18.6)
Но' любая линейная комбинация функций и ipfi?42 также
преобразуется как базисная функция D1"; поэтому любая линей-
(l V l"^\ (l V 1"Ъ\ ная комбинация коэффициентов ^ ^ J и ^ ^ „ J
также дает правильную линейную комбинацию произведений
Таким образом, для (ll'\l")> 1 выбор коэффициентов Клебша— Гордана неоднозначен. Любые линейные комбинации этих коэффициентов одинаково правильны.
Неприводимые представления и векторные пространства 63
С другой стороны, произведения можно записать
в виде линейной комбинации функций ^)Y:
. i'H*- (l8'7)
уГ'ц" Г" Г" '
Предположим, что все рассматриваемые неприводимые представления унитарны; тогда
/ Г ц ц'
(1" у 1 Г w
V и" 1» n'i \
YVr Y 1 l'\ =
An" p. p.'/
t Y
. _ v (I I' I" y\( i I'
и
у (l" у I / l'\/l I'll" =
A \ v-" | и и' А и и' I ?" /
JIJA
= y( 1 l'V" YVf1 v
l-j \ Ц li' I n" ) \ H n'
Г y
H"
I
(18.8)
бцдбц'д', (18.9)
') = «rAnV (18-10)
Следует особо отметить, что для выполнения условия унитарности (18.8) в случае кратности у > 1 необходимо предположить, что все отдельные базисы я|?|Р v выбраны ортонормированными. Это означает, что можно определить соответствующее скалярное (внутреннее) произведение, такое, что
де v> wv')=S d*r4:> vvv' = 6w'-
Этому условию легко удовлетворить, используя метод Грамма — Шмита для построения ортонормированных функций по системе линейно-независимых функций.
Докажем теперь, что матрица, образованная коэффициентами Клебша — Гордана, выполняет приведение прямого произведения матриц (17.1), (17.2). Вспомним определение оператора PR преобразующего функции согласно (14.3), (14.4). Применяя Pr к обеим частям равенства (18.4), получаем
[.1?v)2(«к<*vw. <18-и>
64
Глава 3
Но
^',Y = ED(r)^av^r> (18Л2)
р."
или
?am<*wl(^'|^)w =
Q," vv'
-Е Z(1 V S (18.13)
Ий' vv'
Произведения ф^ф^Л линейно-независимы, поэтому
z(! Г-! '»v)D,Fi(«W“iC %¦ v)di'’<^dot«w~
d" йй'
(18.14)
Равенство (18.14) можно переписать в более удобной форме,
/ I" у I 1'\
если обе его части умножить на ^ J , просуммировать
по I" ц" у и использовать затем равенство (18.9). Тогда получим
/ I I' I" у \ / I" у II' \
X Z ( v v' ji" ) ] ( ц" у v') =
/Tv Д"
= ? VW°(,) (^)v, д(/,) (*W = D</) (*)*, D<n WW (18-15)
ци/
Таким образом, коэффициенты Клебша — Гордана являются элементами унитарной матрицы, которая преобразует прямое произведение к приведенному виду.
Еще яснее это можно показать, если рассмотреть унитарную матрицу ?/w®r>, преобразующую D(/) ® D(/,) в полностью приведенную матрицу А. Тогда
U~lDw (R) ® D(r' (R)U = A (R)
(П,
или
