Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
перемещения и и v вместе со своими частными производными непрерывны
вплоть до этих границ.
Теорему Р. Бредта можно сформулировать так: для любого замкнутого
контура, целиком лежащего в пределах поперечного сечения стержня,
циркуляция касательного напряжения при кручении равна площади,
ограниченной этим контуром, умноженной на 2GQ.
Значение этой теоремы при определении функции напряжений U (х, у)
заключается в следующем: для сплошных стержней теорема Бредта является
лишь повторением того факта, что функция напряжений U (х, у) должна во
всей области сечения стержня удовлетворять уравиеиию Пуассона (20) и
граничному условию (24). Для стержней с многосвязным сечением теорема
Бредта требует дополнительно, чтобы функция напряжений U (х, у)
удовлетворяла еще условиям (26) или (45), которые обеспечивают
однозначность осевых перемещений и) в скручиваемом стержне.
Жесткость призматического стержня
247
ЖЕСТКОСТЬ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Величины крутящего момента М не входит в основные зависимости теории
кручения призматических сгержней (19), (20) и (23), которыми определяется
функция напряжений U (х, у). Подставив выражения (19) в соотношение (3),
для крутящего момента получим
м = -се JJ (* ~- + у ) лг, (",
или, интегрируя это выражение по частям, будем иметь
М - 200 j | и (*, у) Ш - се j j [ A- ixU) |, А 1уС)1 dQ. (47)
U ?2
Произведем преобразование второго слагаемого в выражении (47) но формуле
Грина-Остроградского
L-n ,
^ ф (Q cos пх + Р cos пу] ds, (48)
/=0 Lt
где S? - площадь поперечного сечения стержня, являющаяся многосвязной
областью, ограниченной контурами Li (i = О, I, . . ., и); инте грирование
по контурам Lt- проводят всегда так, что область Q остается слева (см.
рис. 3); Р и Q - функции непрерывные вместе со своими частными
производными первого порядка в области Qi вплоть до се границы. Тогда
получим
У [ж^+iHл-
i-n i=n
=- - 2 и< ф (tdy - y Л) :2 2 U&i. (49)
'-1 Ч i=l
при этом использованы значения функции напряжений V (х, у) на внешнем
контуре ?.0 сечения, указанного в формуле (24), и интеграла (44).
Подставляя выражение (49) в формулу (47), получим
С / оч , 0Р \
И j ду )
М
• 200 | f U (х, у) <К! + 206 ^ 0,Я(. (50)
Q i=l
Если поперечное сечение стержня является односвязной областью, тогда
вместо выражения (50) будем иметь
М = 2G6 f f U (х. у) dQ. (51)
Кручение стержней.
В выражениях (50) и (51) интегралы от U (х, у) следует брать по всей
площади поперечного сечения стержни, занятой материалом, а суммирование
по i распространяется на все внутренние контуры Ц.
Формулы для крутящего момента М (50) и (51) можно представить также в
виде
М = аь = ш" (52)
где С - жесткость при кручении; JТ - кручении.
Для полых стержней с п полостями
геометрическая жес!кость при
С = GJT - 2 G
для сплошных стержней
с-- 2G y)dQ.
(S3)
(54)
Следовательно, решение задачи о кручении призматических стержней при
помощи функции напряжений V (х, у) сводится к решению задачи Дирихле для
уравнения Пуассона (20) при граничном \ с лови и (25) на контуре сечения,
причем в случае многосвязного сечения требуется еще выполнение на каждом
контуре сечения дополнительных условий (26), необходимых для определения
постоянных значений функции напряжений Vi на внутренних контурах сечения
L, (г - 1, 2,
.... п), таких условий, которые обеспечивают однозначность осеных
перемещений w (х, у) стержня.
МАКСИМАЛЬНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Обычно максимальное касательное напряжение в сечении стержня при кручении
возникает на контуре сечения на средних участках длинных сторон профиля и
в закруглениях у входящих углов. Максимальное касательное напряжение
М
Тгаах - т ур у (55)
где М - крутящий момент; Wr - момент сопротивления сечения кручению. Как
геометрическая жесткость при кручении, WT также зависит от формы и
размеров поперечного сечения стержня. Значения 1ГГ для некоторых профилей
приведены в табл. 2.
ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Перемещение w (х. у) представлено Сен-Венаном в виде
w (х, у) = 0ф (х, у). (56)
Функцию ф (х, у) называют функцией кручения Сен-Венани или функцией
перемещения.
Функция перемещения
Ьсли пользоваться равенствами (37) и (56), го из выражений (15) получим
/ Л|П \ / Лш 1
(57)
Подставляя эти выражения для напряжений тхг и туг в уравнение равновесия
(10), мы увидим* что оно удовлетворяется, если функция ф (х, у) в области
сечения стержня является гармонической функцией, т. е. Д<р = 0. Уравнение
же совместности в напряжениях (18) при условии (57) удовлетворяется
тождественно.
Подставляя выражения (57) в третье из уравнений (I), получим
-j/jcosnx-l + costiy ^-0 на L.
(58)
где L - контур области сечения.
Учитывая соотношения (22) и заметив, что
dtp д<р dtp
cos пх + - J- cos пу - , (59)
соотношение (58) приведем к виду
= у cos пх - д: cos пу на L. (60)
Следовательно, задача о кручении стержня сводится к определению
гармонической в области сечения стержня функции, когда на контуре сечения
задано значение нормальной производной этой функции.
