Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь выражениями (3), (52) и (57), для жесткости при кручении
получим формулу
c-oJJ^hv+^-k^L)^ (61)
+ (62) О
где Jp= I 1 (ха + у1) dQ-полярный момент инерции полереч-
ного сечения стержня относительно центра кручения, совпадающего с центром
тяжести сечения.
Если преобразовать второе слагаемое в выражении (62) по формулам Грина-
Остроградского и Грина, тогда это выражение можно привести к виду
250
Кручение стержней
Эта формула показывает, что жесткость призматического стержня у до ил
стоо |> нет лер а нгнству
C^GJP. (01)
Знак равенства и соотношении (64) имеет место только для Kpyia
и крутового кольца, так как в этих случаях <р _ - 0. Отсюда сле-
о
дует, что из всех сплошных призматических стержней с одинаковым полярным
моментом инерции (Jp - const), стержень кругового сечения имеет
наибольшую жесткость при кручении, а из всех полых стержней при Jp -=
const наибольшую жесткость при кручении имеет стержень кольцевого
сечения.
Е. Николаи, представляя жесткость при кручении в виде
где Jx - ^ | if- dx dy; Jy = 1 | xz dx dy,; - область поперечного
'a' Q
сечения стержня; f (х, у) - некоторая гармоническая функция, связанная с
функцией кручения Сеп-Веиана соотношением
I (*¦ У) - Ч <*¦ У) J* J ху, (66)
получил для жесткости при кручении следующую оценку:
^ AJ*Jy "
С sc --- G. (67)
Jp
так как С1>0.
В выражении (67) знак раненства, как это следует из зависимости (66),
имеет место только для эллиптического сечения (когда f = 0) при условии,
что центр кручения совпадает с центром тяжести эллипса. В самом деле, для
эллиптического сечения имеем известные формулы
, nab* , лa3b nab , 0 . "
Jp - ^ (а т * )•
(08)
Следовательно, из всех цилиндрических стержней с одинаковыми жесткостями
при изгибе в главных плоскостях стержень эллиптического поперечного
сечения имеет наибольшую жесткость при кручении.
Из соотношения (67) при Jy^ можно получить для жесткости при кру чении
следующую оценку:
С < AGJ у, (09)
Напряжения в вершинах углов контура се юнин 25*
1К
а при -ф
у<<Jx Для жесткости получим еще одну оценку
С< 2GJX. (70)
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ВЕРШИНАХ ВЫСТУПАЮЩИХ И ВХОДЯЩИХ УГЛОВ КОНТУРА
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
Рассмотрим некоторую угловую точку на контуре поперечного сечения
скручиваемого стержня. Пусть угол, составленные! касательными к контуру в
этой точке ON и ОМ равен а (рис. 4). Поместим начало координат О к этой
точке и воспользуемся полярной системой коордн нат г, <р, причем угол <р
будем отсчитывать от направления одной из касательных, например ON.
При а < л угол выступающий, при а > л - входящий.
Функция напряжений U (г, ф) в окрестное ги данной угловой точки контура
должна удовлетворять уравнению Пуассона, которое в полярной системе
координат имеет вид
дЮ 1
дг'& г
1 d4J
+ ТГ'
и граничным условиям
U (г, 0) - U (г, а) = 0; здесь касательные напряжения тгг определяются
формулами
dU дг
,"Ge_L.*L.
Г Оф '
= -G0-
Общсе решение уравнения (71) можно представить в форме ~ cos (а - 2ф) cos
а
V {г,
-Я
Ьч
+
а ( Aksin
+ В и cos
t ct /
(74)
В выражении (74) nepDoe слагаемое есть частное решение уравнения (71), а
остальные члены в виде рядов являются гармоническими функциями и
представляют собой общее решение соответствующего однородного уравнения.
Здесь мы исключаем из рассмотрения случаи, л Зле
когда а ¦= и а = -~.
252
Кручение стержней
Для того чтобы функция напряжений U (г, <р) в рассматриваемой области
была ограниченной, в выражении (74) нужно положить
Си = Dk-Q. <75)
Чтобы у довлетнорить еще и условиям (72). достаточно потребовать в
выражении (74)
Вк - 0; (76)
тогда выражение для функции напряжений V (г, <р) примет вид
*--1
Для определения тгг, согласно раненетвам (73). получим выражение
х" с У (78|
гг cos а ~ а а
А-1
Рассмотрим отдельно следующие случаи:
[. Пусть а<^л (выступающий угол). Тогда из формулы (78) следует, что Jim
тГ7 - 0. Следовательно, н случае выступающих углов г-" о
в скручиваемом стержне касательные напряжения к вершине его всегда равны
нулю.
2. Пусть а д (входящий угол). Из формулы (78) для этого случаи следует,
что lim ггг = оо. Следовательно, в случае входящих углов касательные
напряжения в их вершинах бесконечно велики.
3. При а = л (в окрестности данной точки контур сечения гладкий). Из
формулы (78) получим, что lim iTX (tm) G0 А х cos <р. т. е. касательные
/--> 0
напряжения в таких точках всегда являются конечными.
Аналогичная картина имеет место и для компонента напряжения Тц^.
определяемого формулой
х_, = _G6T Г _, 1 _ се V*-*" аЛ '1 sin -??-.
1- cosct J / I a a
k=i
(79)
Результаты, полученные выше, свидетельствуют об очень высокой
концентрации касательных напряжений в окрестностях вершин входя щих углов
контура поперечного сечения стержня при его кручении. Значения этих
напряжений в самых вершинах этих углов получаются по формулам (78) и (79)
бесконечно большими и тем самым они теряют физический смысл. Эго
объясняется тем. что при выводе этих формул предполагалось, что материал
